চার অঙ্কের একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যার প্রথম দুটি অঙ্ক অভিন্ন এবং শেষ দুটি অঙ্কও অভিন্ন। চার অঙ্কের পূর্ণবর্গ সংখ্যাটি কত? অর্থাৎ যদি ক ও খ পৃথক দুটি অঙ্ক হয়, তাহলে ক ক খ খ—এই চার অঙ্কের এমন একটি সংখ্যা বের করতে হবে, যা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।
উত্তর: চার অঙ্কের পূর্ণ বর্গ সংখ্যাটি ৭৭৪৪।
মনে করি, সংখ্যাটি ক ক খ খ। এর মান = (১০০০ক + ১০০ক + ১০খ + খ) = (১১০০ক + ১১খ) = ১১(১০০ক + খ)। এই সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হতে হলে তাকে অবশ্যই ১১ এর একটি গুণিতক সংখ্যার বর্গ হতে হবে। এই গুণিতক সংখ্যাটি হতে হবে দুই অঙ্কের এবং তা (১১ x ১) = ১১ অথবা (১১ x ২) = ২২ এর চেয়ে বড়। কারণ (১১)২ = ১২১ এবং (২২)২ = ৪৮৪। এই দুটি সংখ্যা তিন অঙ্কের, কিন্তু আমাদের দরকার চার অঙ্কের সংখ্যা। এখন আমরা দেখছি, (৩৩)২ = ১০৮৯। (৪৪)২ = ১৯৩৬। (৫৫)২ = ৩০২৫। (৬৬)২ = ৪৩৫৬। (৭৭)২ = ৫৯২৯। (৮৮)২ = ৭৭৪৪ এবং (৯৯)২ = ৯৮০১। এই সাতটি চার অঙ্কের প্রতিটি সংখ্যাই পূর্ণ বর্গ। এদের মধ্যে শুধু ৭৭৪৪ = (৮৮)২ সংখ্যাটিই আমাদের শর্ত পূরণ করে। অর্থাৎ এর প্রথম দুটি অঙ্ক ও শেষ দুটি অঙ্ক অভিন্ন, যথাক্রমে ৭ ও ৪। সুতরাং নির্ণেয় চার অঙ্কের পূর্ণ বর্গ সংখ্যাটি ৭৭৪৪। এ রকম সংখ্যা একটিই আছে।