মহামারির গাণিতিক সূত্র

করোনাভাইরাসের কারণে ২০২০ সালের মার্চের পর থেকে এ পর্যন্ত আমাদের দিন কাটছে প্রচণ্ড অনিশ্চয়তা, ভয় আর সংক্রমণ প্রতিরোধের যুদ্ধে। চীনের উহান থেকে শুরু হয়ে এ ভাইরাস ইতিমধ্যে ছড়িয়ে পড়েছে পৃথিবীর সব কটি মহাদেশে; এমনকি অ্যান্টার্কটিকাতেও। ২০২০ সালে পৃথিবীর প্রায় সাড়ে ৮ কোটি মানুষ এ ভাইরাসে আক্রান্ত হয়েছেন। এ পর্যন্ত প্রায় ১৯ লাখ মানুষ মারা গেছেন। সারা পৃথিবীর লাখ লাখ চিকিৎসাকর্মী আক্রান্ত ব্যক্তিদের চিকিৎসায় দিনরাত কাজ করছেন। বিজ্ঞানীদের অক্লান্ত পরিশ্রমে সম্প্রতি এ ভাইরাসের প্রতিষেধক ভ্যাকসিন আবিষ্কৃত হয়েছে এবং বিভিন্ন দেশে এ ভ্যাকসিনের প্রয়োগও শুরু হয়েছে। পৃথিবীর সব কটি সংবাদমাধ্যমে নিয়মিত প্রচারিত হচ্ছে করোনায় কতজন সংক্রমিত হচ্ছেন, কতজন আরোগ্য লাভ করছেন, কতজন মৃত্যুবরণ করছেন, তার সংখ্যা। দেশ ও অঞ্চলভিত্তিক পরিসংখ্যানও আমরা নিয়মিত পেয়ে যাচ্ছি। এসব পরিসংখ্যানের লেখচিত্র (গ্রাফ) থেকে আমরা বুঝতে পারি সংক্রমণের গতিপ্রকৃতি। বিজ্ঞানীরা প্রাপ্ত তথ্য ও উপাত্ত থেকে দাঁড় করিয়েছেন বিভিন্ন গাণিতিক মডেল। যে মডেলগুলো থেকে প্রায় সঠিকভাবে অনুমান করা যায় কোন দেশে, কোন অঞ্চলে এ মহামারির ভবিষ্যৎ গতিপ্রকৃতি কী হতে পারে। ভ্যাকসিন ব্যবহার করলে মৃত্যুর হার কীভাবে কমানো যেতে পারে, চলাচল নিয়ন্ত্রণ ও পারস্পরিক দূরত্ব বজায় রেখে ভাইরাসের সংক্রমণ কীভাবে হ্রাস করানো যায় ইত্যাদির হিসাব পাওয়া যায় এসব মডেল থেকে। কিন্তু এ গাণিতিক মডেলগুলোর মূল উপাদান কী? কীভাবে নির্ণয় করা হয় এর প্যারামিটার? কতটুকু বিশ্বাসযোগ্য এ গাণিতিক ভবিষ্যদ্বাণী?

মহামারির গতিপ্রকৃতির ভবিষ্যৎ বলে দেওয়ার মডেল উদ্ভাবনে পদার্থবিজ্ঞানীরা ভূমিকা রেখে আসছেন কয়েক শ বছর আগে থেকে। সুইজারল্যান্ডের পদার্থবিজ্ঞানী ড্যানিয়েল বারনৌলি গুটিবসন্তের বিস্তার রোধে ভ্যাকসিন কী ধরনের ভূমিকা রাখতে পারে, তার বৈজ্ঞানিক মডেল উদ্ভাবন করেছিলেন ১৭৬০ সালে। ঊনবিংশ শতাব্দীর শেষের দিকে মশার বংশবিস্তার রোধ এবং মশার কামড় থেকে রক্ষা করতে পারলে ম্যালেরিয়া রোগের বিস্তার কত দ্রুত কমে যেতে পারে, তা হিসাব করার গাণিতিক মডেল উদ্ভাবন করেছিলেন ব্রিটিশ চিকিৎসাবিজ্ঞানী স্যার রোনাল্ড রস। বর্তমান কোভিড-১৯ মহামারির গতিপ্রকৃতির মডেল তৈরিতেও অনেক পদার্থবিজ্ঞানী উল্লেখযোগ্য ভূমিকা রাখছেন। যেমন যুক্তরাজ্য সরকারের কোভিড-১৯ প্রতিরোধ টিমের উপদেষ্টা নিল ফার্গুসন, ফ্রান্সের ড. ভিট্টোরিয়া কলিজ্জা প্রমুখ।

কিছু ম্যাট্রিক্স সমীকরণ দিয়ে কোভিডের মতো মহামারির সহজ গাণিতিক বর্ণনা দেওয়া যায়। কিন্তু সমীকরণগুলোর সমাধান করা অত সহজ নয়। কারণ, সমীকরণে যেসব প্যারামিটার ব্যবহার করা হয়, সেসব প্যারামিটার স্থান, কাল ও পাত্রভেদে দ্রুত পরিবর্তনশীল। যেকোনো মহামারির ক্ষেত্রেই প্রথমে লক্ষ করা হয় রোগ ছড়ানোর গতি কী রকম। অর্থাৎ একজনের কাছ থেকে কত দ্রুত অন্যজনের মধ্যে সংক্রমিত হয়। সেটা নির্ভর করে রোগটা কতটা ছোঁয়াচে তার ওপর। এটা হিসাব করার জন্য প্রথমেই নির্ণয় করা হয় প্রজননসংখ্যা বা রিপ্রোডাকটিভ নম্বর (R0)। একজন রোগাক্রান্ত ব্যক্তির সংস্পর্শ থেকে যদি আরও তিনজন রোগাক্রান্ত হয়, তাহলে এ রোগের প্রজননসংখ্যা ধরে নেওয়া হয় ৩; অর্থাৎ R0 = ৩। এ ক্ষেত্রে সংক্রমণ ঠেকানোর কোনো ব্যবস্থা যদি না নেওয়া হয়, তাহলে ১ জনের কাছ থেকে ৩ জন আক্রান্ত হবে, ৩ জন আরও ৩ জন করে ৯ জনের মধ্যে ছড়াবে। আবার সেই ৯ জন আরও ২৭ জনের মধ্যে ছড়াবে, সেই ২৭ জন আরও ৮১ জনের মধ্যে ছড়াবে। এভাবে দ্রুত ছড়িয়ে যাবে এ রোগ। কোনো রোগের প্রজননসংখ্যা যত বেশি হবে, তত দ্রুত ছড়াবে সেই রোগ। যদি কোনো রোগের প্রজননসংখ্যা ১-এর কম হয়, তাহলে তাকে মহামারি বলা হয় না।

প্রজননসংখ্যার ভিত্তিতে মহামারির বিস্তার ঘটতে কত সময় লাগবে, তার একটা বৈজ্ঞানিক অনুমান করা সম্ভব।

কোনো রোগের প্রজননসংখ্যা সাধারণত তিনটি বিষয়ের ওপর নির্ভর করে: (১) আক্রান্ত ব্যক্তি প্রতিদিন কতজন মানুষের সংস্পর্শে কতবার আসেন, (২) প্রতিবার সংস্পর্শে আসার ফলে রোগ সংক্রমণের আশঙ্কা কতটুকু এবং (৩) সংক্রমণ ঘটার জন্য কতক্ষণ সময় লাগে। মহামারি নিয়ন্ত্রণের মূল লক্ষ্য থাকে প্রজননসংখ্যা যথাসম্ভব কমিয়ে আনা। যে তিন বিষয়ের ওপর প্রজননসংখ্যা নির্ভরশীল, সেই তিন বিষয় নিয়ন্ত্রণ করে প্রজননসংখ্যাকে, একে এর চেয়ে কম করে ফেলতে পারলেই মহামারি অনেকটা নিয়ন্ত্রণে চলে আসে। যেমন আক্রান্ত ব্যক্তির সঙ্গে অন্য ব্যক্তির সংস্পর্শ যদি বন্ধ করে দেওয়া যায়, তাহলে প্রজননসংখ্যা একের চেয়ে বাড়বে না। সামাজিক দূরত্ব মেনে চললে এবং আক্রান্ত ব্যক্তিকে আলাদা করে রাখলে (আইসোলেশন) দ্রুত ফল পাওয়া যায়। অনেক সময় রোগ নির্ণয় করার আগেই রোগের বিস্তার ঘটতে থাকে। সে ক্ষেত্রে মাস্ক পরলে এবং নিয়ম মেনে হাত ধুলে রোগীর সংস্পর্শে আসার ফলে রোগ সংক্রমণ নিয়ন্ত্রণ করা সম্ভব হয়। রোগ সংক্রমণ ঘটতে কতক্ষণ সময় লাগবে, সেটা নির্ভর করে ভাইরাসের প্রকৃতি এবং রোগীর সামগ্রিক স্বাস্থ্য ও রোগ প্রতিরোধক্ষমতার ওপর। ভ্যাকসিন প্রয়োগে রোগ সংক্রমণ ঘটানোর সময়টা বিলম্বিত করা হয়, যাতে রোগ সংক্রমণ করার আগেই ভাইরাস তার কার্যকারিতা হারিয়ে ফেলে।

প্রাথমিক রোগী শনাক্ত করার পর তার সংস্পর্শে কতজন এসেছিল, তাদের প্রত্যেকের গতিবিধি সঠিকভাবে হিসাব করা গেলে প্রজননসংখ্যা সঠিকভাবে হিসাব করা যায়। কিন্তু এই সংখ্যা থেকে মহামারির ভবিষ্যৎ সম্পর্কে সবকিছু জানা সম্ভব নয়। কারণ, এই সংখ্যা কোন ভাইরাস কতটা মারাত্মক, সে সম্পর্কে কোনো সঠিক ধারণা দিতে পারে না। যেমন সার্স ভাইরাস ও জলবসন্ত উভয় ক্ষেত্রেই প্রজননসংখ্যা ৩ হতে পারে। কিন্তু সার্স ভাইরাসে আক্রান্ত হয়ে মৃত্যুর আশঙ্কা জলবসন্তে মৃত্যুর আশঙ্কার চেয়ে অনেক বেশি। আবার প্রজননসংখ্যা রোগ সংক্রমণে কত সময় নেবে, সে সম্পর্কেও সুনির্দিষ্ট ধারণা দিতে পারে না। যেমন আমরা জানি, সংক্রমিত হলে দুই সপ্তাহের মধ্যে কোভিডের লক্ষণ দেখা দেয়, কিন্তু এইচআইভি–এইডসের লক্ষণ দেখা দিতে অনেক বছর সময় লেগে যেতে পারে। প্রজননসংখ্যা কোনো সংক্রামক রোগের অন্তর্গত বৈশিষ্ট্য নয়, অর্থাৎ কোনো রোগের জন্য এ সংখ্যা সুনির্দিষ্ট নয়। এটা নির্ভর করে যে অঞ্চলে রোগটা ছড়াচ্ছে, সেই অঞ্চলের মানুষের বৈশিষ্ট্যের ওপর। আমরা দেখতে পাচ্ছি, যুক্তরাষ্ট্র বা ইউরোপের তুলনায় অনেক বেশি ঘনবসতি হওয়া সত্ত্বেও বাংলাদেশে কোভিডে আক্রান্ত রোগীর সংখ্যা তুলনামূলকভাবে কম। আবার জনসংখ্যার ঘনত্ব, অর্থনৈতিক অবস্থা, সামগ্রিক স্বাস্থ্য ও চিকিৎসাসুবিধা ইত্যাদি প্রায় একই রকম হওয়া সত্ত্বেও অস্ট্রেলিয়ার তুলনায় কানাডায় কোভিড-১৯ সংক্রমণের হার অনেক বেশি।

অনেক সীমাবদ্ধতা সত্ত্বেও মহামারি নিয়ন্ত্রণে প্রজননসংখ্যার হিসাব অত্যন্ত প্রয়োজনীয়। চীনের উহানে যখন কোভিড-১৯ ছড়িয়ে পড়তে শুরু করেছিল ২০২০-এর শুরুতে, তখন সেখানে প্রজননসংখ্যা ছিল ৫ দশমিক ৭। সামাজিক দূরত্ব ও আইসোলেশনের মাধ্যমে এ সংখ্যাকে তারা দ্রুত কমিয়ে আনতে সক্ষম হয়েছে। আমেরিকার বিজ্ঞানীরা হিসাব করে দেখিয়েছিলেন, সেখানে কোভিডের প্রজননসংখ্যা ২ দশমিক ২ থেকে কমিয়ে আনার জন্য কমপক্ষে ৬০ শতাংশ মানুষকে সামাজিক দূরত্ব বজায় রাখতে হবে, মাস্ক পরতে হবে ইত্যাদি। কিন্তু আমেরিকায় রাজনৈতিক ভুল সিদ্ধান্তের কারণে এ বৈজ্ঞানিক পরামর্শ কাজে লাগানো যায়নি। ফলে মহামারি সেখানে নিয়ন্ত্রিত হয়নি।

প্রজননসংখ্যার ভিত্তিতে মহামারির বিস্তার ঘটতে কত সময় লাগবে, তার একটা বৈজ্ঞানিক অনুমান করা সম্ভব। এ রোগের বৃদ্ধির হারও নির্ভর করে অনেকগুলো বিষয়ের ওপর। যত বেশি পরীক্ষা করা হবে, তত বেশি রোগনির্ণয় হবে এবং রোগ বৃদ্ধির হারও ততই গ্রহণযোগ্য হবে। যদি কোনো দেশের সব মানুষকে একসঙ্গে পরীক্ষা করে দেখা যায়, কতজনের মধ্যে রোগের সংক্রমণ হয়েছে, সে ক্ষেত্রে রোগ বৃদ্ধির হার সঠিকভাবে নির্ণয় করা যায়। কিন্তু বাস্তবে তা অসম্ভব। বিপুল জনসংখ্যার দেশেও দেখা গেছে অত্যন্ত কমসংখ্যক পরীক্ষা করা হয়েছে, ফলে রোগ বৃদ্ধির হারও অনেক কম পাওয়া গেছে। রোগ বৃদ্ধির হার (r) জানা থাকলে কত সময়ের মধ্যে রোগীর সংখ্যা দ্বিগুণ হবে (T2), তা গাণিতিকভাবে হিসাব করা যায় T2 = log(2)/r সূত্র দিয়ে। করোনা মহামারির শুরুতে পৃথিবীর বিভিন্ন দেশের কোভিড-১৯ সংক্রমণের গড় হার ছিল শূন্য দশমিক ১ থেকে শূন্য দশমিক ৪। সে হিসাবে দু-তিন দিনের মধ্যেই রোগীর সংখ্যা দ্বিগুণ হয়ে গিয়েছিল।

কোনো ব্যক্তির শরীরে ভাইরাস প্রবেশ করার সঙ্গে সঙ্গে রোগের লক্ষণ দেখা যায় না। ভাইরাস প্রবেশ করার সময়, অর্থাৎ সংক্রমণের সময় থেকে রোগের লক্ষণ প্রকাশ পাওয়ার সময়টাকে ল্যাটেন্ট পিরিয়ড বা সুপ্ত কাল (TE) ধরা হয়। আর যে সময় পর্যন্ত শরীরে ভাইরাস কার্যকর থাকে, তাকে ধরা হয় সংক্রামক কাল বা ইনফেকশাস পিরিয়ড (TI)। রোগ বৃদ্ধির হার (r) এবং সুপ্ত কাল (TE) ও সংক্রামক কালের (TI) সঙ্গে প্রজননসংখ্যার একটি সাধারণ গাণিতিক সম্পর্ক হলো R0 = (1 + rTE)(1 + rTI)। কোভিডের সুপ্ত কাল ও সংক্রামক কাল পর্যবেক্ষণ করে দেখা গেছে, এর গড় প্রজননসংখ্যা দুই থেকে তিনের মধ্যে।

কোন সংক্রামক রোগ কতটা মারাত্মক, তা কীভাবে নির্ণয় করা হয়? তা মূলত নির্ণয় করা হয় এ রোগ হওয়ার পর রোগীর মৃত্যুর আশঙ্কা কতটুকু, তার ওপর। কোনো রোগ হলে যদি রোগীর বাঁচার কোনো সম্ভাবনা না থাকে, তাহলে এই রোগে মৃত্যুর আশঙ্কা শতভাগ। কোভিডে মৃত্যুর আশঙ্কা নিয়ে প্রচুর বিতর্ক চলছে প্রতিদিন। কোনো গাণিতিক সূত্র দিয়েই এই আশঙ্কা সঠিকভাবে নির্ণয় করা সম্ভব নয়। কারণ, সঠিক তথ্য ও উপাত্ত সংগ্রহ করাও দুরূহ এবং মৃত্যুর কারণও অনেক সময় সঠিকভাবে প্রকাশ করা হয় না। তবে মহামারিতে মৃত্যুর আশঙ্কা হিসাব করা হয় সাধারণত কতজন রোগী আক্রান্ত হলো এবং আক্রান্ত ব্যক্তিদের মধ্যে কতজন রোগী সুস্থ হলো, সেই অনুপাতের মাধ্যমে। ধরা যাক, বাংলাদেশে এ পর্যন্ত (৩১ ডিসেম্বর ২০২০) কোভিড-১৯ রোগে আক্রান্ত হয়েছেন ৫ লাখ ১২ হাজার ৪৯৬ জন। তাঁদের মধ্যে মৃত্যুবরণ করেছেন ৭ হাজার ৫৩১ জন। তাহলে বাংলাদেশে কোভিডে মৃত্যুর হার ১ দশমিক ৪৬ শতাংশ। পৃথিবীতে এ পর্যন্ত আক্রান্ত হয়েছেন ৮ কোটি ২৪ লাখ ১৪ হাজার ৭১৪ জন, মারা গেছেন ১৭ লাখ ৯৯ হাজার ৯৯ জন; গড় মৃত্যুর হার ২ দশমিক ১৮ শতাংশ।

মহামারির সময় গাণিতিক মডেলের দরকার হয় রোগ নিয়ন্ত্রণের সঠিক ও সুনির্দিষ্ট কার্যপদ্ধতি গ্রহণ করার জন্য। বৈজ্ঞানিক মডেলগুলোর কার্যকারিতা নির্ভর করে সঠিক তথ্য ও উপাত্তের ওপর। যেহেতু অনেক প্যারামিটারের ওপর মডেলগুলো নির্ভর করে, সেহেতু কোনো মডেলই শতভাগ সঠিক ভবিষ্যদ্বাণী করতে পারে না। একইভাবে কোনো মডেলকেই শতভাগ ভুল বলে বর্জন করাও যায় না।

লেখক: শিক্ষক ও অধ্যাপক, বায়োমেডিকেল ফিজিকস বিভাগ, আরএমআইটি, মেলবোর্ন, অস্ট্রেলিয়া

সূত্র: ফিজিকস টুডে (নভেম্বর ২০২০), ভাইরোলজি জার্নাল (অক্টোবর ২০২০)

*লেখাটি ২০২০ সালে বিজ্ঞানচিন্তার ফেব্রুয়ারি সংখ্যায় প্রকাশিত