গণিত অলিম্পিয়াডের শেষ সময়ের প্রস্তুতি – ৪

প্রাইমারি

১.  চারটি মৌলিক সংখ্যার গুণফল 842099, এই চারটি মৌলিক সংখ্যার মধ্যে অন্তর্ভুক্ত নয়, এমন একটি মৌলিক সংখ্যা দিয়ে এগুলোকে  গুণ করা হলো। সেই গুণফল সর্বনিম্ন কত হতে পারে?

২.  কোন সংখ্যাকে নিজের সঙ্গে গুণ করে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তাকে এ সংখ্যার বর্গ বলে। যেমন 2–এর সঙ্গে 2 গুণ, করলে গুণফল হয় 4। সুতরাং 4 হলো 2–এর বর্গ। তুমি একটি বর্গ সংখ্যা নিলে এবং সেটিকে আবার নিজের সঙ্গে গুণ করলে। যে সংখ্যাটি পেলে, সেটিকে 10 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ সর্বোচ্চ কত হতে পারে?

৩.  নন্টের কাছে দুটি জাদুর বাক্স আছে। প্রথম বাক্সে একটি সংখ্যা ঢুকিয়ে দিলে বাক্স থেকে সংখ্যাটির দ্বিগুণ বের হয়ে আসে। দ্বিতীয় বাক্সে একটি সংখ্যা ঢুকিয়ে দিলে এ সংখ্যার সঙ্গে 2 যোগ হয়ে যায়। রাতুল নিজের ইচ্ছেমতো প্রথম বাক্সে একটি সংখ্যা ঢুকিয়ে দিল, যে সংখ্যাটি বের হলো, সেটিকে নিয়ে সে দ্বিতীয় বাক্সে ঢুকিয়ে দিল। এবার সে যে সংখ্যাটি পেল সেটিকে অর্ধেক করে আরেকটি বাক্সে ঢুকিয়ে দিল। সেখান থেকে বের হওয়া সংখ্যাটি প্রথম বাক্সে ঢুকানো সংখ্যার সমান। রাতুলের কাছে থাকা তৃতীয় বাক্সটিতে যদি 34 সংখ্যাটি ঢুকিয়ে দেওয়া হয় তাহলে কত বেরিয়ে আসবে? 

জুনিয়র

১।  রিংকু, টিয়া আর আবির—প্রত্যেককে তিনটি করে সংখ্যা নিতে বলা হলো। শর্ত হলো, প্রত্যেকের প্রথম ও তৃতীয় সংখ্যা দুটির যোগফল দ্বিতীয় সংখ্যার দ্বিগুণ হতে হবে এবং দ্বিতীয় সংখ্যা থেকে তৃতীয় সংখ্যা 4 বড় হতে হবে। দেখা গেল, রিংকুর দ্বিতীয় সংখ্যা টিয়ার দ্বিতীয় সংখ্যার চেয়ে 4 ছোট আর টিয়ার দ্বিতীয় সংখ্যা আবিরের দ্বিতীয় সংখ্যার চেয়ে 4 ছোট। টিয়ার তৃতীয় সংখ্যাটি 30 হলে আবিরের প্রথম সংখ্যাটি কত?

২।  আবির 6:30–এ তার বাড়ি থেকে নায়েলের বাড়ির দিকে যাত্রা শুরু করল। কিন্তু নায়েলের বাড়িতে গিয়ে দেখল যে নায়েলের ঘড়িতে 5:55 বেজে আছে। নায়েলের ঘড়িতে যখন 6:00 বাজে তখন সে নিজের বাড়ির দিকে ফিরে আসা শুরু করল। বাসায় এসে দেখল তার ঘড়িতে তখন 7:15 বাজে। যদি নায়েলের বাসায় যেতে এবং সেখান থেকে ফিরে আসতে আবিরের সমান সময় লেগে থাকে, তাহলে নায়েলের ঘড়ি আবিরের ঘড়ি থেকে কত মিনিট স্লো, সেটি বের করো।

৩।  ব্যাঙ রাজপুত্রের কাছে 10টি ভিন্ন ভিন্ন দৈর্ঘ্যের জাদুর কাঠি আছে। সেগুলোর দৈর্ঘ্য 1 থেকে 10 পর্যন্ত ভিন্ন ভিন্ন পূর্ণসংখ্যা। একদিন রাতে এক ডাইনিবুড়ি রাজপুত্রের একটি কাঠি চুরি করে নিয়ে গেল। সকালবেলা ব্যাঙ রাজপুত্র দেখল, যে তার সব কাঠির দৈর্ঘ্যের যোগফল 49, যে কাঠিটি চুরি হয়েছিল, তার দৈর্ঘ্য কত?

সেকেন্ডারি এবং হায়ার সেকেন্ডারি

১. অভীকের কাছে 12টি বল আছে এবং সুব্রতর কাছে 20টি বল আছে। তারা দুজনই বলগুলো 2টি করে পাত্রে এমনভাবে ভাগ করে রাখল, যেন প্রতিটি পাত্রে বিজোড়সংখ্যক বল থাকে। এবার তারা একে অপরের সঙ্গে একটি পাত্র অদলবদল করল। তাদের প্রত্যেকের কাছেই মোট বলের সংখ্যা অপরিবর্তিত থাকার সম্ভাব্যতা কত?

২. অপুর কাছে একটি ছক্কার ঘুঁটি আছে আর তপুর কাছে দুটি ছক্কার ঘুঁটি আছে। একটি খেলায় প্রথমে অপু তার ছক্কার ঘুঁটি চেলে যত ফেলবে তপু যদি তার ছক্কার ঘুঁটি দুটি চেলে তত ফেলতে পারে (দুটি ছক্কায় যত করে পড়বে, তাদের যোগফল তপুর ছক্কায় পড়া সংখ্যার সমান হবে), তাহলে তপু জিতবে, নয় অপু জিতবে। খেলায় তপুর জেতার সম্ভাবনা কত? তপুর ছক্কার ঘুঁটি দুটি পৃথক।

৩. লাইব্রেরি থেকে বই নিয়ে সময়মতো ফেরত না দিলে অতিরিক্ত প্রতিদিনের জন্য 6 টাকা করে জরিমানা দিতে হয়। তবে শুক্র আর শনিবারের জন্য কোনো জরিমানা দেওয়ার প্রয়োজন হয় না। লাইব্রেরিয়ান তোমাকে বললেন যে ফেব্রুয়ারি মাসের 21 থেকে 26 তারিখের মধ্যে তোমার টাকা জরিমানা হয়েছে। ফেব্রুয়ারি মাসের শেষ দিনটি হলো শনিবার। মাসের শেষ বুধবার কত তারিখে ছিল?

৪. 100 ≤ x ≤ 200 এবং 300 ≤ y ≤ 400 যেখানে x, y দুটি পূর্ণসংখ্যা। x + y < 450 হলে (x,y) এর কতগুলো ভিন্ন মান সম্ভব?

৫. p, q, r ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা যেন p + 2q + 3r = 100. prq এর সর্বোচ্চ মান কত?