গণিতে কিছু সমস্যার সমাধান করতে গিয়ে এমন উত্তর পাওয়া যায়, যা স্পষ্টতই স্ববিরোধী মনে হয়। অথচ গণিতের নিয়মেই সমাধানের চেষ্টা করা হয়েছে। তাহলে কেন স্ববিরোধী মনে হবে। এটা এমন একটি প্রশ্ন, যার সহজ উত্তর নেই।
যেমন ধরা যাক, কোনো সংখ্যাকে ০ দিয়ে ভাগ করলে উত্তর কী হবে? ছোটবেলায় স্কুলে পড়ার সময় আমরা শিখে এসেছি, এর উত্তর ∞ (অসীম)। কিন্তু আসলে এটাও ঠিক উত্তর নয়। কেন?
আসুন, এই জটিল ভাগ করে ফল বের করার চেষ্টা করি। আমরা সহজ উপায় অবলম্বন করব। প্রথমে দেখা যাক ১ কে ১ দিয়ে ভাগ করলে উত্তর ১। যদি ১ কে ০.১ দিয়ে ভাগ করি, উত্তর ১০। ০.০১ দিয়ে ভাগ করলে ১০০। এভাবে ক্রমান্বয়ে ভাজকের মান কমিয়ে যথাক্রমে ০.০০১, ০.০০০১, ... ইত্যাদি সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে উত্তর হবে ১ হাজার, ১০ হাজার ইত্যাদি। দেখা যাচ্ছে, ১-কে যত ছোট সংখ্যা দিয়ে ভাগ করব, উত্তর তত বড় সংখ্যা হবে। তাহলে যদি খুব ছোট ০-এর কাছাকাছি কোনো সংখ্যা দিয়ে ভাগ করি, তাহলে উত্তর নিশ্চয়ই এত বড় হবে, যা ∞ অসীমের কাছাকাছি হবে। এ কারণেই বলা হয়, কোনো সংখ্যাকে ০ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল হবে অসীম। কিন্তু এটা ধরে নিলে একটি সমস্যা দেখা দেয়। কারণ, যদি ১-কে ভাগ না করে ৫৭৪ দিয়ে ভাগ করি? তাহলে আমরা এর উত্তর বের করতে পারি এভাবে: ৫৭৪/০ = ৫৭৪×১/০ = ৫৭৪×∞ = ∞ । তাহলে ব্যাপারটা দাঁড়াল, ৫৭৪/০ = ∞ = ১/০। এই হিসাব ঠিক হলে বলতে হয়, ৫৭৪ = ১, যা অসম্ভব। এটা হতে পারে না। সুতরাং কোনো সংখ্যাকে ০ দিয়ে ভাগ করলে তার কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যা হতে পারে না। বলতে পারি খুব বড় সংখ্যা। কিন্তু একে কখনো সুনির্দিষ্টভাবে সংখ্যায় প্রকাশ করা যাবে না।
আবার অন্যভাবেও সমস্যায় পড়তে হয়। যেমন ধরা যাক, ১/০ = ক। তাহলে গণিতের আড়াআড়ি গুণের নিয়ম অনুযায়ী, ১ = ক´০ = ০। এটা অবাস্তব। হতে পারে না। শুধু এখানেই এ রহস্যের শেষ নয়। ১-এর বদলে যদি ৭, ৯ বা ১৯৪-যেকোনো সংখ্যাই ধরি না কেন, সব ক্ষেত্রেই উত্তর হবে ৭ = ০, ৯ = ০ বা ১৯৪ = ০ ইত্যাদি। তাহলে তো বলতে হয় ১ = ৭ = ৯ = ১৯৪ ইত্যাদি। এটা অসম্ভব।
এখানেই ০ দিয়ে ভাগ করাকে আমরা বলতে পারি আপাতবিরোধী।
আচ্ছা, যদি ০-কে ০ দিয়ে ভাগ করি, তাহলে কী হবে? দেখা যাক।
মনে করি ০/০ = ৩। তাহলে ০ = ০×৩ = ০। হিসাব অনুযায়ী উত্তর ঠিক। অর্থাৎ ০/০ = ৩ উত্তরটি সঠিক। কিন্তু সমস্যা দেখা দেয় যদি আবার বলি ০/০ = ৩৮৯। কারণ এটা যদি ঠিক হতে হয়, তাহলে নিয়ম অনুযায়ী ০ = ৩৮৯×০ = ০। হিসাব অনুযায়ী, এই উত্তরও ঠিক বলে ধরে নিতে হবে। তাহলে বলতে হয় ০ = ৩, ৩৮৯ সবই হতে পারে! এটা কীভাবে সম্ভব?
এই আপাতবিরোধী উত্তরের জন্যই বলা যায়, কোনো সংখ্যাকে ০ দিয়ে ভাগ করলে উত্তর অনির্ণেয়। প্রকৃতপক্ষে গণিতে ০ দিয়ে ভাগ করাকে হিসাবের বাইরে রাখা হয়েছে।
লেখক: সম্পাদক, বিজ্ঞানচিন্তা