ধারাবাহিক যোগের কৌশল

পাঠ্য বইয়ে আমাদের ধারার অঙ্ক করতে হয়। এর বাইরেও এ অঙ্ক কাজে লাগতে পারে। যেমন হুট করে কেউ বলতে পারেন, ১ -১০০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল কত? তখন ধারা যোগ করে সহজে সমস্যার সমাধান করা যায়। সাধারণত গাণিতিক সূত্র ব্যবহার করে এ ধরনের সমস্যা সমাধান করা হয়। তবে আজ আমরা আর সূত্রের মধ্যে যাব না। বরং কীভাবে সহজে মাথার মধ্যে ধারা যোগ করা যায়, সেই কৌশলটা দেখব।

সমস্যা: ১ (সহজ)

১ + ২ + ৩ + … + ৭ 

ধাপ ১: এই ধারার শেষ সংখ্যাটির পরের সংখ্যাটি লিখতে হবে। এখানে শেষ সংখ্যা ৭, অর্থাৎ পরের সংখ্যা ৮।

ধাপ ২: এবার শেষ সংখ্যা ও পরের সংখ্যা গুণ করে ভাগ করতে হবে ২ দিয়ে। অর্থাৎ (৭ × ৮) ÷ ২। এটা সহজে করতে হলে, প্রথমে ৮-কে ৪ দিয়ে ভাগ করতে হবে। তাহলে পাব ৮ ÷ ২ = ৪। এবার ৭ ও ৪ গুণ করলে হবে ২৮। এটাই উত্তর।

একনজরে দেখুন

১ + ২ + ৩ + … + ৭ → (৭ × ৮) ÷ ২ → ৭ × (৮ ÷ ২) → ৭ × ৪ = ২৮। 

সমস্যা: ২ (সহজ)

১ + ২ + ৩ + … + ১০

ধাপ ১: ধারার শেষ সংখ্যাটি ১০। পরের সংখ্যাটি ১১। 

ধাপ ২: যেহেতু পাশাপাশি দুটি সংখ্যা নিচ্ছি, সুতরাং একটা অবশ্যই জোড় সংখ্যা হবে। সেটাকে ২ দিয়ে ভাগ করতে হবে। অর্থাৎ ১০ ÷ ২ = ৫।

ধাপ ৩: এখন ৫-কে ১১ দিয়ে গুণ করতে হবে। তাহলে পাব ১১ × ৫ = ৫৫। 

একনজরে দেখুন

১ + ২ + ৩ + … + ১০ → (১০ × ১১) ÷ ২ → ১১ × (১০ ÷ ২) → ১১ × ৫ = ৫৫।

সমস্যা: ৩ (কঠিন)

১ + ২ + ৩ + … + ৪০

ধাপ ১: ধারার শেষ সংখ্যাটি ৪০, পরের সংখ্যাটি ৪১। 

ধাপ ২: ৪০-কে ২ দিয়ে ভাগ করলে হবে ৪০ ÷ ২ = ২০।

ধাপ ৩: এবার ২০-কে ৪১ দিয়ে গুণ করতে হবে। প্রথমে ৪১-কে ২ দিয়ে গুণ করে পরে ১০ দিয়ে গুণ করব। অর্থাৎ ৪১ × ২ = ৮২ এবং ৮২ × ১০ = ৮২০। 

একনজরে দেখে নিন

১ + ২ + ৩ + … + ৪০ → (৪০ × ৪১) ÷ ২ → ৪১ × (৪০ ÷ ২) → ৪১ × ২০ = ৮২০।

সমস্যা: ৪ (কঠিন)

১ + ২ + ৩ + … + ১০০

ধাপ ১: ধারার শেষ সংখ্যাটি ১০০, পরের সংখ্যাটি ১০১। 

ধাপ ২: ১০০-কে ২ দিয়ে ভাগ করলে হবে ১০০ ÷ ২ = ৫০।

ধাপ ৩: এবার ৫০-কে ১০১ দিয়ে গুণ করতে হবে। প্রথমে ১০১-কে ৫ দিয়ে গুণ করলে পাব ৫০৫। এর পাশে বাদ দেওয়া শূন্যটা বসিয়ে দিলেই সমধান হয়ে গেল। অর্থাৎ ১০১ × ৫ = ৫,০৫০। 

একনজরে দেখুন

১ + ২ + ৩ + … + ১০০ → (১০০ × ১০১) ÷ ২ → ১০১ × (১০০ ÷ ২) → ১০১ × ৫০ = ৫,০৫০।

মনে মনে করবেন যেভাবে

ধরুন, ১ + ২ + ৩ + … + ২০ যোগটা করতে হবে। শুধু দেখবেন, ধারার শেষ সংখ্যাটা কত। ওটা জোড় সংখ্যা হলে ২ দিয়ে ভাগ দেবেন, আর বিজোড় হলে নিশ্চয়ই পরের সংখ্যাটা জোড় হবে। তাহলে পরের সংখ্যাকে ২ দিয়ে ভাগ দিতে হবে। মোট কথা, দুটি সংখ্যার মধ্যে যেটা জোড়, সেটা ২ দিয়ে ভাগ করতে হবে। তাহলে ২০-এর অর্ধেক হলো ১০। এখন ১০-কে ২১ দিয়ে গুণ করলে ২১০। অতি সহজ।

অনুশীলন (সহজ)

১. ১ + ২ + ৩ + … + ৯

২. ১ + ২ + ৩ + … + ১৭

২. ১ + ২ + ৩ + … + ৩০

৪. ১ + ২ + ৩ + … + ২২

৫. ১ + ২ + ৩ + … + ২৭

অনুশীলন (কঠিন)

১. ১ + ২ + ৩ + … + ৮১

২. ১ + ২ + ৩ + … + ৯৯

২. ১ + ২ + ৩ + … + ৭৭

৪. ১ + ২ + ৩ + … + ৫২ 

৫. ১ + ২ + ৩ + … + ৬৯

সমাধান (সহজ)

১. ৪৫; ২. ১৫৩; ৩. ৪৬৫; ৪. ২৫৩; ৫. ৩৭৮

সমাধান (কঠিন)

১. ৩৩২১; ২. ৪৯৫০; ৩. ৩০০৩; ৪. ১৩৭৮; ৫. ২৪১৫