শূন্য দিয়ে ভাগ করা যায় না কেন

স্কুলে আমরা কিছু সহজ গাণিতিক নিয়ম শিখি। যেমন, দুটি ঋণাত্মক সংখ্যা গুণ করলে সবসময় ধনাত্মক সংখ্যা পাওয়া যায়, মানে -২ × -২ = ৪। যেকোনো সংখ্যাকে সেই সংখ্যা দিয়েই ভাগ করলে সবসময় মান হয় ১, অর্থাৎ ২ ÷ ২ = ১। আবার কোনো সংখ্যাকে শূন্য দিয়ে গুণ করলে হয় শূন্য। যেমন, ২ × ০ = ০। এর সঙ্গে হয়তো আরও একটা নিয়ম শিখে থাকবে। কোনো সংখ্যাকেই শূন্য দিয়ে ভাগ করা যায় না। প্রশ্ন হলো, কেন শূন্য দিয়ে ভাগ করা যাবে না। জোর করে যদি শূন্য দিয়ে ভাগ করি, তাহলে কী সমস্যা হবে?

শূন্য দিয়ে ভাগ করা কেন যায় না, তার একটা বাস্তব উদাহরণ দিই প্রথমে। ধরো, তুমি আর তোমার বাবা-মায়ের জন্য একটা পিৎজা অর্ডার করলে। পিৎজাটাতে ১২টা স্লাইস আছে। আর তোমরা মোট তিনজন। তাহলে তোমরা প্রত্যেকে কয়টা করে স্লাইস পাবে? নিশ্চয়ই বলবে ৪টা স্লাইস। একদম ঠিক বলেছ! ভাগ এভাবেই কাজ করে।

এবার ধরো, তোমার মা আজ পিৎজা খাবেন না। মানে তোমাকে আর তোমার বাবাকেই খেতে হবে। তাহলে এখন দুজনে খেলে মোট কয়টা স্লাইস করে ভাগে পাবে? ১২-কে ২ দিয়ে ভাগ করলে হবে ৬, মানে তোমরা প্রত্যেকে ছয়টা স্লাইস করে ভাগে পাবে।

এখন ভাবো, পিৎজার বারোটা স্লাইস যদি শূন্য জন মানুষের মধ্যে ভাগ করে দিতে বলা হয়, তাহলে প্রত্যেকে কয়টা করে স্লাইস পাবে? যদি তুমি অবাক হয়ে মাথা চুলকাও, তাহলে এই দলে তুমি একা নও। বাঘা বাঘা গণিতবিদরাও এই সাধারণ প্রশ্নে মাথা চুলকান। কারণ, শূন্য জন লোকের মধ্যে পিৎজা ভাগ করা অসম্ভব। শূন্য দিয়ে ভাগ করার কোনো উপায় নেই। মানে এই কথার কোনো মানে নেই!

ঠিক এই উদাহরণের মতোই, গণিতে কোনো সংখ্যাকে শূন্য দিয়ে ভাগ করার কোনো উপায় নেই। অথবা তেমন কোনো উপায় এখনো গণিতবিদরা আবিষ্কার করতে পারেননি। অনেকেই শূন্য দিয়ে ভাগ করার নিয়ম বের করার চেষ্টা করেছেন, কিন্তু  কেউ এখনও পর্যন্ত সফল হননি।

কিন্তু শূন্য দিয়ে ভাগ করলে কি হবে? নিজেই ক্যালকুলেটরে ০ দিয়ে ভাগ করার একটু চেষ্টা করে দেখ তো! ক্যালকুলেটরে হয়তো Undefined শব্দটা লেখা উঠছে। এর মানে অনির্ণেয়। অর্থাৎ, এর মান নির্ণয় করা যাবে না। এমনকি শূন্যকে শূন্য দিয়ে ভাগ করলেও তার উত্তর হবে অনির্ণেয়!

এখন শূন্য দিয়ে জোর করে ভাগের কয়েকটা সমস্যার কথা বলি। ধরো, ৮ ÷ ৪ = ক। তাহলে ‘ক’-এর মান কত? নিশ্চয়ই ২। তাহলে ভাগটা দাঁড়াল, ৮ ÷ ৪ = ২। এখানে, ৮ হলো ভাজ্য, ৪ ভাজক এবং ২ ভাগফল। পঞ্চম শ্রেণিতে ‘ভাজক × ভাগফল = ভাজ্য’ সূত্রটা পড়ার কথা। এই সূত্রের মানে, এখন ভাজক (৪) ও ভাগফল (২) গুণ করলে ভাজ্যের মানের সমান হবে। আসলেই কিন্তু তাই, ৪ × ২ = ৮।

এবার ধরো, ২-কে ০ দিয়ে ভাগ করলাম। অর্থাৎ ২ ÷ ০ = ক। ধরলাম ভাগফল ‘ক’ হবে। তাহলে এই ভাগফল ‘ক’-কে ভাজক ০ দিয়ে গুণ করলে ভাজ্য (২) পাওয়ার কথা। কিন্তু ক × ০ = ২ হতে পারে না। কারণ, আগেই বলেছি, কোনো সংখ্যাকে ০ দিয়ে গুণ করলে গুণফল সবসময় ০ হবে। অর্থাৎ মিলছে না কিন্তু। এটা ০ দিয়ে ভাগের একটা সমস্যা।

এবার নিচের ভাগগুলো দেখ।

১ ÷ ১ = ১

১ ÷ ০.১ = ১০

১ ÷ ০.০১ = ১০০

১ ÷ ০.০০০০০০১ = ১,০০০,০০০

এখানে খেয়াল করো, আমরা যত শূন্যের দিকে যাচ্ছি, মান তত বাড়ছে। প্রথমে ১-কে ১ দিয়ে ভাগ করলে ১ পাওয়া যায়। এরপর ১-কে আরও ছোট সংখ্যা ০.১ দিয়ে ভাগ করলে পাই ১০। আরও ছোট সংখ্যা ০.০১ দিয়ে ভাগ করলে পাই ১০০। এরকম যত ছোট সংখ্যার দিকে (শূন্যের কাছাকাছি) যাব, ভাগফল তত অসীমের দিকে যাবে। তার মানে, এক সময় শূন্য দিয়ে ভাগ দিলে পাওয়া যাবে অসীম সংখ্যা। এটাও হতে পারে না। শূন্য দিয়ে ভাগের এটাও একটা সমস্যা।

এবার একটা মজার সমস্যা দেখাই। ধরো ‘a’ ও ‘b’-এর মান ১। তাহলে ‘a’ ও ‘b’ সমান, মানে a = b।

তাহলে,

a = b

বা, a2 = ab (উভয়পাশে a দিয়ে গুণ)

বা, a2 - b2 = ab - b2 (উভয়পাশ থেকে b2 বিয়োগ)

বা, (a + b) (a - b) = b(a - b)

বা, (a + b) = b (উভয়পাশ থেকে a - b বাদ)

বা, (১ + ১) = ১

আগেই বলেছি, a ও b-এর মান সমান ১। তাহলে এই সমীকরণ অনুসারে হয়, ২ = ১। কিন্তু, এটা তো হতে পারে না! তুমি কারো থেকে ২ হাজার টাকা নিয়ে এই যুক্তি দিয়ে যদি ১ হাজার টাকা ফেরত দাও, তাহলে সে নিশ্চয়ই মানবে না। কিন্তু এখানে ভুলটা কোথায় হলো? কেন ২ আর ১ সমান হলো? আসলে এই সমাধানেও আমরা ০ দিয়ে ভাগ করেছি। তাই এমন গরমিল হয়ে গেছে। ভুলটা হয়েছে বা, (a + b) (a - b) = b(a - b) এই লাইনে। এখানে আমরা a - b উভয়পাশ থেকে বাদ দিয়েছিলাম। বাদ দিয়েছি কিন্তু ভাগ করে। মানগুলো বসালে দেখবে, (১ + ১) (১ - ১) = ১ (১-১)। মানে আমরা বাঁ পাশের (১ - ১) কে ডান পাশের (১ - ১) দিয়ে ভাগ দিয়েছে। অর্থাৎ ০-কে ০ দিয়ে ভাগ করেছি। আর এ কারণেই এমন সমস্যা হয়েছে।

এই হলো ০ দিয়ে ভাগ করার সমস্যা। মানে ০ দিয়ে ভাগ করলে গণিতের কিছুই ঠিক থাকে না। যা তা অবস্থা তৈরি হয়। তাই, শূন্য দিয়ে কোনো সংখ্যাকে ভাগ করা যাবে না।

সূত্র: ওয়ান্ডারপলিস ডটঅর্গ ও ম্যাথইজফান ডটকম