অঙ্কের খেলা - পর্ব ৩

গত পর্বের পরে

৮. দেশলাই কাঠির ধাঁধা

একটি ছেলে দেশলাইয়ের বাক্সটা টেবিলের ওপর খালি করে কাঠিগুলোকে ভাগ করল তিনটি ভাগে।

ঠাট্টা করে প্রশ্ন করল একজন, ‘অগ্নিকাণ্ড-টাণ্ড ঘটাতে যাচ্ছ না তো ভাই?’

‘না-না, এগুলো সব মগজ ঘামানোর জন্য। এই হলো তিনটে ভাগ। ভাগগুলো সমান নয়। সবশুদ্ধ কাঠি আছে ৪৮টা। প্রতি ভাগে কটা আছে, তা অবশ্য বলব না আমি। এবার সবাই নজর দাও ভালো করে। দ্বিতীয় ভাগে যতটা কাঠি আছে, প্রথম ভাগ থেকে ততটা নিয়ে রাখলাম দ্বিতীয় ভাগে। তারপর তৃতীয় ভাগে যতটা আছে, ততটা কাঠি দ্বিতীয় ভাগ থেকে নিয়ে রাখলাম তৃতীয় ভাগে। সবশেষে প্রথম ভাগে যে কয়টা কাঠি পড়েছিল, তৃতীয় ভাগ থেকে সে কয়টা নিয়ে চালান করে দিলাম প্রথম ভাগে। এইসব কাণ্ড করলে তিনটে ভাগেই কাঠির সংখ্যা হবে সমান সমান। তাহলে বলো তো, প্রথমে প্রতি ভাগে কয়টা করে কাঠি ছিল?’

৯. অদ্ভুত এক গাছের গুঁড়ি

পরের ছেলেটি শুরু করল, ‘এই ধাঁধাটা গাঁয়ের এক অঙ্কের পণ্ডিত করতে দিয়েছিলেন আমাকে।’

আসলে এটা একটা মজার গল্প। একদিন এক কৃষকের সঙ্গে এক বুড়োর দেখা হলো বনের ভেতর। কথাবার্তা শুরু হতে বুড়ো বলল:

‘এই বনে একটা অদ্ভুত ছোট্ট গাছের গুঁড়ি আছে। দরকার মতো এটি মানুষকে সাহায্য করে।’

‘তাই নাকি? কী করে? অসুখ বিসুখ সারায় বুঝি?’

‘না, ঠিক তা নয়। এটি মানুষের টাকা দ্বিগুণ করে দেয়। টাকার থলিটা শেকড়ের ভেতর রেখে একশ পর্যন্ত গুনে যাও, তারপরেই দেখতে পাবে টাকাটা দ্বিগুণ হয়ে গেছে। এক অদ্ভুত গুঁড়ি হে!’

কৃষক তো উৎসাহের চোটে বলে উঠল, ‘পরীক্ষা করে দেখতে পারি না?’

‘কেন পারবে না? কিছু দক্ষিণা দিতে হবে অবশ্য।’

‘কাকে দিতে হবে? টাকাটা কত?’

‘যে তোমাকে গুঁড়িটা দেখাবে, সে তো আমি। কত দিতে হবে সে অবশ্য আলাদা কথা।’

দুজনে তো দরাদরি শুরু করল তখন। কৃষকের বেশি টাকা নেই শুনে বুড়ো যতবার টাকা দ্বিগুণ হবে, প্রতিবারে ১ রুবল ২০ কোপেক করে নিতে রাজি হলো।

দুজনে তখন ঢুকল গভীর জঙ্গলে। বুড়ো অনেক খুঁজে কৃষককে নিয়ে এল ঝোপের ভেতর এক শেওলাধরা ফারগাছের গুঁড়ির সামনে। তারপর কৃষকের থলিটা নিয়ে গুঁজে দিল শেকড়গুলোর ভেতর। তারা একশ পর্যন্ত গুনল। অনেকক্ষণ ধরে খোঁজার পর থলিটা বের করে কৃষককে ফিরিয়ে দিল বুড়ো।

কৃষক তো খুলল থলিটা। কী অবাক কাণ্ড, টাকাগুলো সত্যিই দ্বিগুণ হয়ে গেছে! কথামতো ১ রুবল আর ২০ কোপেক গুনে বের করে নিয়ে, সে বুড়োকে আবার রাখতে বলল ওটা।

আবার তারা একশ পর্যন্ত গুনল। আবার সেই বুড়ো খুঁজে বের করল থলিটা। আবারও ঘটল সেই অদ্ভুত ব্যাপারটা। টাকাগুলো সব দ্বিগুণ হয়ে গেছে। আবার সেই চুক্তিমতো বুড়োকে সে দিল ১ রুবল আর ২০ কোপেক।

তারপর তৃতীয়বার তারা থলিটাকে লুকিয়ে রাখল। এবারও টাকাটা দ্বিগুণ হলো। কিন্তু বুড়োকে তার ১ রুবল ২০ কোপেক দেবার পর এবার আর কিছুই থাকল না থলিতে। এভাবে সব টাকা হারাল গরিব লোকটা। দ্বিগুণ করে নেওয়ার মতো আর টাকা যখন রইল না, মাথা হেঁট করে চলে গেল সে।

রহস্যটা অবশ্য বুঝতে পারছ সবাই। বুড়ো তো আর থলিটা খুঁজে বের করতে শুধু শুধু দেরি করেনি। কিন্তু আমি তোমাদের কাছে জিজ্ঞেস করব আরেকটা প্রশ্ন। বলো তো, কৃষকের কাছে প্রথমে কত ছিল?

৩. ‘কে বেশি গুনেছিল?’- এর সমাধান 

তারা দুজনেই সমান সংখ্যার পথিকদের গুনেছিল। দরজায় যে দাঁড়িয়েছিল, সে গুনেছিল যারা আসা-যাওয়া করছিল তাদের। যে পায়চারী করছিল, সে রাস্তা দিয়ে যাদের আসতে দেখেছিল, তাদের সংখ্যা ছিল যাদের যেতে দেখেছিল তাদের দ্বিগুণ।

8. ‘নাতি ও ঠাকুর্দা’- এর সমাধান 

প্রথমে মনে হতে পারে যে ধাঁধাটা বলতে হয়ত ভুল হয়েছে। নাতি আর ঠাকুর্দা দুজনের বয়সই সমান! শিগগিরই দেখতে পাবে কিচ্ছু ভুল নেই ধাঁধাটায়।

এটা তো পরিষ্কার যে নাতির জন্ম হয়েছিল বিংশ শতাব্দীতে। তাই তার জন্মসালের প্রথম দুটো সংখ্যা হল ১৯ (শতকের ঘরের সংখ্যা)। অন্য দুটো সংখ্যাকে দ্বিগুণ করলে হয় ৩২। তাহলে সংখ্যাটা হল ১৬। নাতির জন্ম হয়েছিল ১৯১৬ সালে আর ১৯৩২ সালে তার বয়স হল ১৬ বছর।

তাহলে ঠাকুর্দা নিশ্চয়ই জন্মেছিলেন উনবিংশ শতাব্দীতে। সেইজন্য তাঁর জন্মসালের প্রথম দুটো সংখ্যা হলো ১৮। বাকি সংখ্যা দুটোকে দ্বিগুণ করলে হবে ১৩২-এর সমান। তাহলে আমাদের সংখ্যাটা হল ১৩২-এর অর্ধেক, অর্থাৎ ৬৬।

ঠাকুর্দা জন্মেছিলেন ১৮৬৬ সালে, আর ১৯৩২ সালে তাঁর বয়স দাঁড়াল ৬৬ বছর। তাহলে ১৯৩২ সালে নাতি আর ঠাকুর্দা দুজনের বয়সই তাদের জন্মসালের শেষ দুটো সংখ্যার সমান ছিল।

৫. ‘ট্রেনের টিকিট’- এর সমাধান 

২৫টা স্টেশনের প্রতিটা থেকেই যাত্রীরা বাকি ২৪টা স্টেশনের যেকোনটার টিকিট কিনতে পারে। তাহলে যত বিভিন্ন ধরনের টিকিট দরকার হয় তাদের সংখ্যা হল ২৫ × ২৪ = ৬০০। আর যাত্রীরা যদি ফিরতি টিকিটও কাটে (অর্থাৎ দুই দিকেরই) তাহলে টিকিটের ধরনের সংখ্যা হবে ২ × ৬০০, অর্থাৎ ১২০০।

৬. ‘হেলিকপ্টারের পাল্লা’- এর সমাধান 

কিছু গোলমেলে কথা নেই এ ধাঁধাটায়। হেলিকপ্টারটা তো আর একটা বর্গক্ষেত্রের সীমানা ধরে উড়ে যায় নি! এটা খেয়াল করতে হবে যে, পৃথিবীটা হলো গোল আর দ্রাঘিমা রেখাগুলো সব মেরুতে গিয়ে একসঙ্গে মিশে যায় (২ নং ছবি)।

তাহলে লেনিনগ্রাদের অক্ষাংশের ৫০০ কিলোমিটার উত্তরের অক্ষাংশ বরাবর পূর্বদিকে যাবার সময় হেলিকপ্টারটাকে যত পথ পার হতে হয়েছে, তা লেনিনগ্রাদের অক্ষাংশ ধরে ফিরে আসবার পথের চেয়ে কম। ফলে লেনিনগ্রাদের পূর্বদিকেই হেলিকপ্টারের পাল্লা শেষ হয়েছিল।

কথা হচ্ছে, কত কিলোমিটার দূরে? সে তো হিসেব কষেই বের করা যায়। ২ নং ছবিতে হেলিকপ্টারের পথটা ক খ গ ঘ ঙ দিয়ে দেখানে হয়েছে। উ হল উত্তর মেরু, এখানে ক খ আর ঘ গ দ্রাঘিমা এসে মিশছে। হেলিকপ্টারটা প্রথমে গিয়েছিল ৫০০ কিলোমিটার উত্তরে। তার মানে ক উত্তর দ্রাঘিমা ধরে এগিয়েছিল। এখন দ্রাঘিমার ওপরে প্রতি ডিগ্রিতে হয় ১১১ কিলোমিটার; তাহলে ৫০০ কিলোমিটার লম্বা বৃত্তচাপে হবে ৫০০:১১১ ≈ ৪°৩০′। লেনিনগ্রাদ হলো ৬০ অক্ষাংশে। তাহলে খ-র অক্ষাংশ দাঁড়াচ্ছে ৬০০ + ৪°৩০′= ৬৪°৩০′। হেলিকপ্টারটা এরপর উড়ে গিয়েছিল পূর্বদিকে, তার মানে খ গ অক্ষাংশ ধরে ৫০০ কিলোমিটার এগিয়েছিল। এই অক্ষাংশে (৬৪°৩০′) প্রতি ডিগ্রির (দ্রাঘিমার) দূরত্ব হিসেব করে বের করা যায় (তৈরি করা ছক থেকেও পাওয়া যেতে পারে) এটা হল ৪৮ কিলোমিটারের সমান। এখন পূর্বদিকে হেলিকপ্টারটাকে মোট কত ডিগ্রি পথ পেরোতে হয়েছিল তার হিসেবটা সোজা হয়ে যাচ্ছে— ৫০০:৪৮ ≈ ১০°২৪′। এরপর হেলিকপ্টারটা এগোলো দক্ষিণে, অর্থাৎ গ ঘ দ্রাঘিমা ধরে। এভাবে ৫০০ কিলোমিটার পার হবার পর এসে পৌঁছল লেনিনগ্রাদের অক্ষাংশে আর সেখান থেকেই আবার তার গতি হল পশ্চিমদিকে ঘ ক বরাবর। স্পষ্টই দেখা যাচ্ছে এখানে ৫০০ কিলোমিটার পথ ক আর ঘ-র দূরত্বের চেয়ে ছোট। এখন ক ঘ আর খ গ দুই জায়গাতেই ডিগ্রির (দ্রাঘিমার) পরিমাণ সমান, অর্থাৎ ১০°২৪′। ৬০° অক্ষাংশে ১০ (দ্রাঘিমার) দৈর্ঘ্য হল প্রায় ৫৫.৫ কিলোমিটার। তাহলে ক থেকে ঘ-র দূরত্ব হল ৫৫.৫ × ১০°২৪′ ≈ ৫৭৭ কিলোমিটারের সমান। তাহলেই দেখা যাচ্ছে যে, হেলিকপ্টারটা লেনিনগ্রাদের কাছাকাছিও নামতে পারেনি। নেমেছিল ৭৭ কিলোমিটার দূরে (পূর্বে), অর্থাৎ লাদোগা হ্রদের ওপর।

৭. ‘ছায়া’- এর সমাধান 

এই ধাঁধাটা নিয়ে আলোচনা করতে গিয়ে আমাদের গল্পের সবাই অনেক ভুল করেছিল। সূর্যের রশ্মি পাখার মতোই ছড়িয়ে পড়ে কথাটা কিন্তু ঠিক নয়। দূরত্বের তুলনায় পৃথিবী সূর্য থেকে এত ছোট যে সূর্যের রশ্মি পৃথিবীর যেখানেই পড়ুক না কেন, একটার সঙ্গে আরেকটা যে একটু কোনাকুনিভাবে আছে, তা প্রায় ধরাই যায় না। সত্যি বলতে কি, রশ্মিগুলোকে একরকম সমান্তরালই বলা চলে। আমরা অবশ্য অনেক সময় রশ্মিকে পাখার মতোই ছড়িয়ে পড়তে দেখি (যেমন, সূর্য যখন কোনো মেঘের আড়ালে থাকে, চিত্র ১)। এগুলো অবশ্য পরিপ্রেক্ষণের ব্যাপার ছাড়া আর কিছুই নয়।

কোনও বিন্দু থেকে দুটো সমান্তরাল রেখাকে বাড়িয়ে গেলে মনে হবে যেন অনেক দূরের একটা বিন্দুতে মিশে যাচ্ছে তারা, যেমন রেলওয়ের লাইন (চিত্র ৩), বা দুই ধারে গাছের সারি দেওয়া লম্বা পথ।

কিন্তু সূর্যের কিরণ মাটিতে সমান্তরাল হয়ে পড়ে মানেই এ নয় যে হেলিকপ্টারের নিখুঁত ছায়াটাও হেলিকপ্টারটার সমানই লম্বা হবে। চিত্র ৪-এ দেখা যাচ্ছে, হেলিকপ্টারের নিখুত ছায়াটা শূন্যের মধ্য দিয়ে পৃথিবীর ওপরে পৌঁছবার পথে ছোট হয়ে আসে। ফলে হেলিকপ্টারের যে ছায়াটা পড়ে তা তার নিজের চাইতে ছোট- গ ঘ যেমন ক খ-র চেয়ে ছোট হয়েছে।

দৈর্ঘ্যের এই তফাতটা কিন্তু হিসেব করে বের করে ফেলা যায়। অবশ্য তা করতে হলে হেলিকপ্টারটা কত উঁচুতে উড়ছে সেটা জানতে হবে। ধরে নেওয়া যাক ওটা উড়ছে ১০০ মিটার ওপরে। এখন ক গ আর খ ঘ রেখার ভেতরে যে কোণটা তৈরি হয়েছে, সেটা পৃথিবী থেকে যতটা কোণের ভেতর সূর্যকে দেখা যায় তারই সমান। আমরা জানি সেটা হল ১/২০ সমান। আবার এটাও জানা আছে যে, যে জিনিসটাকে ১/২° কোণের ভেতরে দেখা যায়, যে দেখছে তার থেকে সেটার দূরত্ব হয় সেই জিনিসটার ব্যাসের ১১৫ গুণ। তাহলে, চ ছ অংশটা (যা পৃথিবীর উপরিভাগ থেকে ১/২° কোণে দেখা যায়) হল ক গ-র ১/১১৫ অংশ। ক থেকে সোজাসুজি পৃথিবীর দূরত্ব যতটা (লম্ব দূরত্ব) ক গ রেখা তার চেয়ে লম্বায় বড়। এখন, সূর্যের কিরণ পৃথিবীর মাটিতে যদি ৪৫° কোনাকুনিভাবে পড়ে, তাহলে ক গ (হেলিকপ্টারের উচ্চতা ১০০ মিটার, তা তো দেওয়াই আছে) হল প্রায় ১৪০ মিটার লম্বা। কাজেই চ ছ অংশটা হল ১৪০ : ১১৫ = ১.২ মিটারের সমান।

তাহলেই, হেলিকপ্টার আর ছায়ার ভেতরে তফাতটা অর্থাৎ চ খ চ ছ-এর চাইতে বড় (ঠিক ঠিক বলতে গেলে ১.৪ গুণ) কারণ চ খ ঘ কোণ প্রায় ৪৫°-র সমান। এইভাবে চ খ হল ১.২ × ১.৪-এর সমান, অর্থাৎ প্রায় ১.৭ মিটার।

এ সমস্ত হিসেব কিন্তু পরিষ্কার, কালো আর ছায়ার নিখুঁত বেলায়ই খাটবে; অস্পষ্ট, ঝাপসা প্রচ্ছায়ার বেলায় খাটবে না।

এই হিসেবের ফাঁকে কিন্তু আরও একটা জিনিস পাওয়া গেল। হেলিকপ্টারের বদলে যদি ১.৭ মিটার ব্যাসওয়ালা একটা বেলুন থাকত, তাহলে নিখুঁত কোন ছায়া পাওয়া যেত না। আমরা শুধু একটা ঝাপসা প্রচ্ছায়া দেখতে পেতাম।

আপনারাও উত্তরটা ভাবুন। নিজে উত্তর দেওয়ার চেষ্টা করুন। তবে আপনাকে সন্ধ্যা পর্যন্ত অপেক্ষা করতে হবে না। সমাধান দেখতে চাইলে এই লিংকে ক্লিক করলেই হবে।

(চলবে...)