শেষ সংখ্যাটি কত?

বিভাজ্যতার কতগুলো সাধারণ নিয়ম জানা থাকলে আমরা অনেক সময় সহজে গণিতের সমাধান বের করতে পারি। যেমন কোনো সংখ্যার শেষে যদি ০ থাকে, তাহলে সংখ্যাটি অবশ্যই ১০ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য। ৯ দিয়ে বিভাজ্য হবে যদি সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর যোগফল ৯ দিয়ে বিভাজ্য হয়। কোনো সংখ্যার শেষ তিনটি অঙ্ক দিয়ে গঠিত সংখ্যাটি যদি ৮ দিয়ে বিভাজ্য হয় অথবা যদি সংখ্যাটির শেষ অঙ্ক তিনটি ‘০০০’ হয়, তাহলে পুরো সংখ্যাটি ৮ দিয়ে বিভাজ্য হবে। কোনো জোড় সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল যদি ৩ দিয়ে বিভাজ্য হয়, তাহলে সংখ্যাটি ৬ দিয়ে বিভাজ্য হবে। কোনো সংখ্যার শেষে যদি ৫ অথবা ০ থাকে, তাহলে সংখ্যাটি ৫ দিয়ে বিভাজ্য হবে। যদি কোনো সংখ্যার শেষে দুটি শূন্য থাকে অথবা শেষ দুটি অঙ্ক দিয়ে গঠিত সংখ্যাটি ৪ দিয়ে বিভাজ্য হয়, তাহলে পুরো সংখ্যাটি ৪ দিয়ে বিভাজ্য হবে। কোনো সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল যদি ৩ দিয়ে বিভাজ্য হয়, তাহলে সংখ্যাটি ৩ দিয়ে বিভাজ্য হবে। যেকোনো জোড় সংখ্যা ২ দিয়ে বিভাজ্য হবে।

আরেকটি মজার কৌশল দেখুন। বড় দুটি সংখ্যার গুণফল সহজে বের করা যায়। যেমন সংখ্যা দুটির একটি যদি জোড় সংখ্যা হয়, তাহলে প্রথমে একে অর্ধেক করুন এবং অন্য সংখ্যাটিকে দ্বিগুণ করুন। এবার গুণ করুন। যেমন ৪০-কে ৪৫ দিয়ে গুণ করতে হবে। ৪০-এর অর্ধেক ২০ এবং ৪৫-এর দ্বিগুণ ৯০। সুতরাং গুণফল (৪০×৪৫)=(২০×৯০)=১৮০০।
গণিতে এ রকম আরও মজা আছে, পরে বলব।

এ সপ্তাহের ধাঁধা
বুদ্ধি খাটিয়ে যুক্তিযুক্ত উত্তর বের করতে হবে। যদি (৩ + ২)=২৫, (৪ + ৩)=৪৯, (৫ + ৪)=৮১ হয়, তাহলে (১০ + ৯)=?
আপনার উত্তর আমার ই-মেইলে পাঠাতে পারেন। সঠিক উত্তর দেখুন আগামী রোববার এই অনলাইন কলামে।

ধাঁধাটি ছিল এ রকম: আমার কাছে বেশ কিছু চকলেট আছে। এর ৪ ভাগের ৩ অংশ, অর্থাৎ (৩/৪) অংশ কয়েকজন শিশুর মধ্যে সমান ভাগ করে দিলাম। প্রত্যেক শিশু তাদের দেওয়া চকলেটের ১২ ভাগের এক অংশ (১/১২ অংশ) করে চকলেট পেল। এখন বলুন তো, শিশুদের সংখ্যা কত? প্রতিটি শিশু ন্যূনতম কতটি করে চকলেট পেয়েছে? এবং আমার কাছে ন্যূনতম কতটি চকলেট ছিল?

উত্তর:
শিশুদের সংখ্যা ১২। প্রতিটি শিশু পেয়েছে ন্যূনতম ১টি করে চকলেট এবং আমার কাছে ন্যূনতম মোট চকলেট ছিল ১৬টি।

প্রথমে আমরা বের করব, আমার কাছে ন্যূনতম কতটি চকলেট ছিল। সংখ্যাটি এমন হতে হবে, যেন এর (৩/৪) অংশ একই সঙ্গে একটি পূর্ণ সংখ্যা এবং ১২ দিয়ে বিভাজ্য হয়। সুতরাং চকলেটের সংখ্যা ৪ বা এর কোনো গুণিতক হতে হবে। সংখ্যাটি ৮ বা ১২ হতে পারে না, কিন্তু যদি ১৬ হয়, তাহলে এর (৩/৪)=১২, যা ১২ দিয়ে বিভাজ্য। তাই আমরা বলতে পারি, আমার কাছে ন্যূনতম ১৬টি চকলেট ছিল এবং এর (৩/৪)=১২টি চকলেট ১২ শিশুকে ১টি করে সমান ভাগে ভাগ করে দিয়েছি।

বীজগণিত ব্যবহার করেও আমরা উত্তর বের করতে পারি। মনে করি, আমার চকলেটের সংখ্যা ‘ক’ ও শিশুদের প্রত্যেকে পেয়েছে ‘খ’সংখ্যক চকলেট। সুতরাং (৩ক/৪)/১২=খ। অথবা ক=১৬খ। এখানে সমীকরণ একটি, কিন্তু দুটি অজানা রাশি—‘ক’ ও ‘খ’। তাই ক ও খ-এর একাধিক মান থাকবে। ক-এর ন্যূনতম মান যদি ১৬ হয়, তাহলে খ-এর ন্যূনতম মান হবে ১। অর্থাৎ ১৬টি চকলেটের (৩/৪) অংশ, অর্থাৎ ১২টি চকলেট ১২ শিশুকে ১টি করে ভাগ করে দিয়েছি। এখানে লক্ষণীয়, ক-এর মান ১৬–এর যেকোনো গুণিতক হতে পারে এবং সে ক্ষেত্রে খ-এর মানও আনুপাতিক হারে বাড়বে। কিন্তু ক ও খ-এর ন্যূনতম মান হলো ১৬ ও ১।

*আব্দুল কাইয়ুম, মাসিক ম্যাগাজিন বিজ্ঞানচিন্তার সম্পাদক
[email protected]