গত সপ্তাহে লিখেছিলাম ৬-কে যেকোনো জোড় অঙ্ক দিয়ে গুণ করলে গুণফলের শেষ অঙ্কটি, অর্থাৎ এককের ঘরের অঙ্কটি একই হবে। উপরন্তু দশকের ঘরের অঙ্কটি হবে এর অর্ধেক। যেমন ৬-কে ৮ দিয়ে গুণ করলে হবে ৪৮। (৬ ৮) = ৪৮। কেন এটা হয়, সে ব্যাখ্যা দিইনি। এখানে কারণটা বলি। যদি ‘ক’ যেকোনো একটি সংখ্যা হয়, তাহলে গুণফলকে লিখতে পারি (৬× ২ক) = ১২ক। এখন ক-এর মান ১, ২, ৩ অথবা ৪ ধরলে দেখা যাবে, গুণফলের এককের ঘরে ২ক এবং দশকের ঘরে এর অর্ধেক অর্থাৎ ‘ক’ থাকবে। ক-এর মান ৪-এর বেশি হবে না। কারণ, সে ক্ষেত্রে ২ক-এর মান দুই অঙ্কের সংখ্যা হয়ে যাবে, কিন্তু আমাদের গুণ করতে হবে এক অঙ্কের ধনাত্মক সংখ্যা দিয়ে।
একইভাবে দ্বিতীয় সমস্যার ক্ষেত্রে বলেছি, তিন অঙ্কের একটি সংখ্যা লিখুন, যার অঙ্ক তিনটি একই। যেমন ৪৪৪, ৫৫৫ প্রভৃতি। এবার প্রতিটি সংখ্যার অঙ্ক তিনটি যোগ করুন। এই যোগফল দিয়ে মূল সংখ্যাটিকে ভাগ করুন। উত্তর সব সময় হবে ৩৭। কেন এটা হয়? ব্যাখ্যা করলে দেখব, সংখ্যাটি যদি (ককক) হয়, তাহলে এর অঙ্ক তিনটির যোগফল হবে (১০০ক + ১০ক + ক) =১১১ক। এবং শুধু অঙ্ক তিনটির যোগফল = (ক + ক + ক) = ৩ক। এবার ভাগ করলে পাব (১১১ক/৩ক) = ৩৭। এ কারণেই সব ভাগফল হবে ৩৭।
এ ধরনের আরেকটি মজার সমস্যা দেখুন। তিন অঙ্কের যেকোনো একটি সংখ্যা নিন। যেমন ৫২৭। এরপর একই সংখ্যা ধারাবাহিকভাবে আবার লিখি। ছয় অঙ্কের সংখ্যাটি হলো ৫২৭৫২৭। একে প্রথমে ৭ দিয়ে ভাগ করি। প্রাপ্ত ভাগফলকে আবার ১১ দিয়ে ও এরপর প্রাপ্ত ভাগফলকে ১৩ দিয়ে ভাগ করি। সর্বশেষ ভাগফল হবে সেই প্রথম তিন অঙ্কের সংখ্যাটিই। এর কারণ হলো, তিন অঙ্কের সংখ্যাটি যদি (কখগ) হয়, তাহলে ছয় অঙ্কের সংখ্যাটি হবে (কখগকখগ) = (১০০১০০ক + ১০০১০খ + ১০০১গ)। এবার প্রাপ্ত সংখ্যাকে (৭×১১×১৩) = ১০০১ দিয়ে ভাগ করলে আমরা পাব (১০০ক + ১০খ + গ) = কখগ। এটাই আমাদের আদি সংখ্যা।
একই ধরনের সমস্যাকে আমরা অন্যভাবেও বলতে পারি। তিন অঙ্কের যেকোনো একটি সংখ্যাকে ৭, ১১ ও ১৩ দিয়ে পরপর গুণ করলে আমরা সেই সংখ্যা পরপর দুবার লেখা ছয় অঙ্কের সংখ্যা পাব। যেমন (৭৪৯) সংখ্যাটিকে (৭×১১×১৩) = ১০০১ দিয়ে গুণ করলে আমরা পাব (৭৪৯৭৪৯)। এর কারণ হলো, সংখ্যাটি যদি (কখগ) = (১০০ক + ১০খ + গ) হয়, তাহলে একে (৭×১১×১৩) = ১০০১ দিয়ে গুণ করলে আমরা পাব (১০০১০০ক + ১০০১০খ + ১০০১গ) = (কখগকখগ)। সমস্যাটি এর আগের সমস্যার বিপরীত।
এ সপ্তাহের ধাঁধা
১০ থেকে ১০০-এর মধ্যে স্বাভাবিক একক অঙ্কগুলোর (ডিজিট ১ থেকে ৯) মধ্যে সবচেয়ে বেশিবার ব্যবহৃত হয়েছে কোন অঙ্কটি? যেমন, ১০, ১১, ১২,...৯৯, ১০০—এই সংখ্যাগুলোর মধ্যে ১ থেকে ৯ পর্যন্ত অঙ্কগুলো অনেকবার এসেছে। বলতে হবে কোন অঙ্কটি সবচেয়ে বেশিবার এসেছে।
আপনার উত্তর আমার ই-মেইলে পাঠাতে পারেন। সঠিক উত্তর দেখুন আগামী রোববার এই অনলাইন কলামে।
গত রোববার প্রকাশিত ধাঁধার উত্তর
ধাঁধাটি ছিল এ রকম: কয়েকটি ধনাত্মক সংখ্যার যোগফল ১৮। সংখ্যাগুলো এমন যে এদের যোগফল ১৮ হলেও গুণফল অন্য যেকোনো সংখ্যামালার গুণফলের মধ্যে সবচেয়ে বড়। বলুন তো সংখ্যাগুলো কী?
উত্তর
সংখ্যাগুলো ৩, ৩, ৩, ৩, ৩, ৩ । এদের যোগফল ১৮ এবং গুণফল ৭২৯
কীভাবে উত্তর বের করলাম
যেহেতু গুণফল সর্বোচ্চ হতে হবে, তাই সম্ভাব্য বেশি সংখ্যা রাখতে হবে, যেন যোগফল ১৮ হলেও গুণফল সর্বাধিক হয়। তাই ৬টি ৩ হলে এদের যোগফল ১৮ ও গুণফল সর্বাধিক, ৭২৯।
*আব্দুল কাইয়ুম, মাসিক ম্যাগাজিন বিজ্ঞানচিন্তার সম্পাদক
[email protected]