তিন ভাই-বোনের বয়স কত

অনেক সময় মনে মনে হিসাব করে গণিতের কঠিন সমস্যার সমাধান চট করে বের করতে হয়। যেমন ধরুন, শিক্ষক প্রশ্ন করলেন, বলো তো ৯৩৭ সংখ্যাটি কোন দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের মাঝে অবস্থান করে? চট করে এর উত্তর বের করার জন্য আমি চিন্তা করব, সংখ্যাটি ৯০০–এর বড় এবং ৯০০–এর বর্গমূল যে ৩০, সেটা একনিমেষে বলে দেওয়া যায়। এখন দেখতে হবে, এর পরের সংখ্যা ৩১-এর বর্গ কত, সেটা কি ৯৩৭-এর চেয়ে বড়? এ হিসাব করার জন্য আমরা চিন্তা করব, এককের ঘরে অবশ্যই ১ থাকবে, দশকের ঘরে থাকবে (৩ + ৩) = ৬ এবং শতকের ঘরে অবশ্যই ৯ থাকবে। অর্থাৎ ৩১-এর বর্গ = ৯৬১, যা ৯৩৭–এর চেয়ে বড়। সুতরাং আমরা চট করে বলে দিতে পারি, ৯৩৭ সংখ্যাটি ৩০ ও ৩১–এর বর্গের মাঝে অবস্থান করে।

আরেকটি সমস্যার সহজ সমাধান দেখুন। গ্রামের বাড়ি যাচ্ছি। একটি আয়তাকার ক্ষেত্র পার হতে হবে। যদি কোনাকুনি যাই, তাহলে হয়তো খেতের কিছু ধানের চারা নষ্ট হবে। তাই ভাবলাম আল ধরে যাই, এতে একটু বেশি হাঁটতে হবে হয়তো। আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৪০ ফুট ও প্রস্থ ৩০ ফুট। তাহলে আমাকে কতটা বেশি হাঁটতে হবে? এর উত্তরের জন্য আমি প্রথমেই কোনাকুনি পথের দূরত্ব বের করে নেব। এটা আসলে একটি সমকোণী ত্রিভুজের সঙ্গে তুলনীয়, যার কোনাকুনি দূরত্ব (অতিভুজ) হবে ৪০-এর বর্গ ও ৩০-এর বর্গের যোগফলের বর্গমূল। ৪০ ও ৩০–এর বর্গ চট করে বলে দিতে পারি, ১৬০০ ও ৯০০। অর্থাৎ কোনাকুনি দূরত্ব = (১৬০০ + ৯০০)-এর বর্গমূল = ২৫০০-এর বর্গমূল = ৫০ ফুট। অন্যদিকে জমির আল দিয়ে যেতে আমাকে (৪০ + ৩০) = ৭০ ফুট হাঁটতে হবে। সুতরাং আমাকে মাত্র (৭০-৫০) = ২০ ফুট বেশি হাঁটতে হবে।

এ সপ্তাহের ধাঁধা

রিয়া, রিকি ও রিপা তিন ভাই-বোন। তাদের প্রত্যেকে ঠিক পূর্ববর্তী জনের চেয়ে ২ বছর বড়। তাদের বয়সের সমষ্টি ৩৬ বছর হলে, কার বয়স কত?
আপনার উত্তর আমার ই-মেইলে পাঠাতে পারেন। সঠিক উত্তর দেখুন আগামী রোববার এই অনলাইন কলামে।

গত রোববার প্রকাশিত ধাঁধার উত্তর

ধাঁধাটি ছিল এ রকম: দুই অঙ্কের তিনটি সংখ্যার সমষ্টি ২০৭ এবং গসাগু ৯ হলে সংখ্যা তিনটি কত?

উত্তর
৪৫, ৬৩ ও ৯৯। এদের সমষ্টি = (৪৫ + ৬৩ + ৯৯) = ২০৭ এবং গসাগু = ৯

কীভাবে উত্তর বের করলাম

যেহেতু গসাগু ৯, তাই তিনটি সংখ্যাই ৯ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য। মনে করি, সংখ্যা তিনটি ৯ক, ৯খ ও ৯গ। শর্ত অনুযায়ী এদের সমষ্টি ২০৭। অর্থাৎ (৯ক + ৯খ + ৯গ) = ৯(ক + খ + গ) = ২০৭। সুতরাং (ক + খ + গ) = (২০৭/৯) = ২৩। এখন ক, খ ও গ পরস্পর মৌলিক সংখ্যা। হিসাব করে দেখা যায়, ২৩–এর চেয়ে ছোট মৌলিক সংখ্যাগুলোর মধ্যে সবচেয়ে বড় যে মৌলিক সংখ্যাকে গসাগু ৯ দিয়ে গুণ করলে দুই অঙ্কের সংখ্যা পাওয়া যায়, সেটা হলো ১১। (৯*১১) = ৯৯। অন্য দুটি সংখ্যার সমষ্টি হবে (২০৭ – ৯৯) = ১০৮। এখন যেহেতু (১০৮/৯) = ১২, তাই ক ও খ—এ দুটি মৌলিক সংখ্যা হবে ৭ ও ৫। (৭ + ৫) = ১২। সুতরাং সংখ্যা তিনটি হবে ৫ক = (৫*৯) = ৪৫, ৭ক = (৭*৯) = ৬৩ এবং ১১ক = (১১*৯) = ৯৯।

* আব্দুল কাইয়ুম, মাসিক ম্যাগাজিন বিজ্ঞানচিন্তার সম্পাদক
[email protected]