কোনো বর্গসংখ্যার শেষ অঙ্কটি জোড় সংখ্যা হলে...

কোনো বর্গসংখ্যার শেষের অঙ্কটি জোড় হতে পারে, আবার বিজোড়ও হতে পারে। যেমন ৪৯ একটি বর্গসংখ্যা, যার শেষ অঙ্ক ৯ একটি বিজোড় সংখ্যা। কিন্তু ৬৪ বর্গসংখ্যাটির শেষ অঙ্ক ৪ একটি জোড় সংখ্যা। যেসব বর্গসংখ্যার শেষ অঙ্কটি জোড় সংখ্যা, তাদের একটি বৈশিষ্ট্য হলো সংখ্যাটি সব সময় ৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে। যেমন ৬৪ সংখ্যাটি ৪ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য। তেমনি ১৪৪ বর্গসংখ্যাটি ৪ দিয়ে ভাগ করলে মিলে যাবে, উত্তর হবে ৩৬। কিন্তু সব সময়ই যে ৪ দিয়ে ভাগ করলে মিলে যাবে, তার কি কোনো প্রমাণ আছে? হ্যাঁ, এটা প্রমাণ করা যায়।

ধরা যাক (ক)^২ এমন একটি বর্গসংখ্যা, যার শেষ অঙ্কটি জোড়। তাহলে পুরো (ক)^২ সংখ্যাটিই জোড় সংখ্যা হবে। এবং সে ক্ষেত্রে ক একটি জোড় সংখ্যা হবে। কারণ, যদি জোড় না হয়ে বিজোড় হয়, ধরা যাক, ক = (২খ+১), তাহলে (ক)^২ = (২খ+১)^২ = ৪(খ)^২ + ৪খ +১ = ২(২খ^২ + ২খ )+১, যা একটি বিজোড় সংখ্যা। সুতরাং, এ ক্ষেত্রে ক একটি জোড় সংখ্যাই হবে। তাহলে আমরা বলতে পারি, ক = ২খ। সুতরাং, এর বর্গ, (২খ)^২ = ৪(খ)^২। অর্থাৎ, বর্গসংখ্যাটি সব সময় ৪ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।