গণিত শিক্ষায় মস্তিষ্কের প্যাটার্ন কীভাবে সাহায্য করে

পাঠকের লেখা

আমাদের ধারণা, বড় কোনো গাণিতিক আবিষ্কার করতে হলে জন্মগত প্রতিভা থাকা চাই। হ্যাঁ, প্রতিভার কিছুটা ভূমিকা তো আছেই। কিন্তু গাণিতিক আবিষ্কারগুলোর পেছনে মস্তিষ্কের একটা নির্দিষ্ট প্যাটার্ন কাজ করে। হয়তো অঙ্ক করার সময় আপনি নিজেও কখনো কখনো এই প্যাটার্নটি অনুভব করেছেন। ফরাসি গণিতবিদ জ্যাক হাদামার্ড প্রথম এই প্যাটার্নটি বিশ্লেষণ বা ব্যাখ্যা করেন। তিনি তাঁর ‘গাণিতিক আবিষ্কারের মনস্তত্ত্ব’ নামে গবেষণাপত্রে বিষয়টি তুলে ধরেছেন। কিন্তু মানুষের মস্তিষ্কে গাণিতিক আবিষ্কার কীভাবে ঘটে, তা নিয়ে গবেষণা করা যায় কীভাবে?

বিংশ শতাব্দীর গোড়ার দিকে এদুয়ার্দ থিওডোর মেইলি নামে একজন পরিচিত গণিতবিদ তাঁর সহকর্মীদের কাছে একটি প্রশ্নপত্র পাঠান। তিনি জানতে চেয়েছিলেন, তাঁরা ঠিক কীভাবে নতুন কিছু আবিষ্কার করেন। প্রশ্নগুলো ছিল বেশ মজার: ‘গাণিতিক সমাধান কি কখনো আপনার স্বপ্নে আসে? আপনি কি কোনো কঠিন সমস্যা সমাধানের কাজ মাঝপথে থামিয়ে দিয়ে পরে আবার শুরু করেন? আপনার আবিষ্কারগুলো কীভাবে ঘটে?’ এই অভিনব ধারণাটি দুজন মনোবিজ্ঞানীর খুব পছন্দ হলো। তাঁরা গণিতবিদদের কাছে ৩০টি প্রশ্নসহ একটি বিস্তারিত জরিপ পাঠালেন।

আমি নিজেও এই প্রশ্নগুলোর উত্তর জানতে দারুণ কৌতূহলী হতাম! প্রশ্নগুলো ছিল এ রকম: ‘আপনি কি শুধুই গণিতে বেশি আগ্রহী, নাকি প্রাকৃতিক বিভিন্ন ঘটনায় এর প্রয়োগ দেখতে পছন্দ করেন? গাণিতিক আবিষ্কারে হঠাৎ পাওয়া অনুপ্রেরণার ভূমিকা কতটুকু বলে আপনি মনে করেন? কোনো গবেষণা শুরুর আগে আপনি কি ওই বিষয়ে আগে যা লেখা হয়েছে, তা ভালোভাবে পড়ে নেন?’ জরিপে আরও জানতে চাওয়া হয়েছিল, একজন গণিতবিদের কত ঘণ্টা ঘুমানো উচিত, দিনে কতবার খাওয়া উচিত, তাঁরা ব্যায়াম করেন কি না কিংবা দিনে কত ঘণ্টা পড়াশোনা করা উচিত। বেশ মজার একটি গবেষণা, তাই না?

কিন্তু এখানে একটা বড় সমস্যা দেখা দিল। জ্যাক হাদামার্ড নিজেই তাঁর প্রবন্ধে বিষয়টি উল্লেখ করেছেন। নামকরা প্রায় কোনো গণিতবিদই এই জরিপে অংশ নেননি! যাঁরা উত্তর দিয়েছিলেন, তাঁরা ছিলেন সম্পূর্ণ অপরিচিত, গাণিতিক ক্ষেত্রে তাঁদের বড় কোনো আবিষ্কার ছিল না। শুধু লিওনার্ড ইউজিন ডিক্সন এবং বিখ্যাত পদার্থবিদ লুডভিগ বোলজম্যানের মতো কয়েকজন এর উত্তর দিয়েছিলেন। বাকি বিখ্যাতরা এর উত্তর দেওয়ার প্রয়োজন বোধ করেননি।

তাই হাদামার্ড যুক্তি দিলেন, সঠিক সিদ্ধান্তে পৌঁছাতে হলে আমাদের একটি ভালো কেস স্টাডি দরকার। যাঁরা সত্যিই গণিতের ভালো জিনিস আবিষ্কার করেছেন, তাঁদের কাছ থেকেই আমাদের শিখতে হবে। এই প্রবন্ধ লেখার সময় হাদামার্ড নিজেও বেশ কিছু প্রশ্নপত্র পাঠিয়েছিলেন। এর মধ্যে একটি তিনি পাঠিয়েছিলেন স্বয়ং আলবার্ট আইনস্টাইনকে, যিনি এর চমৎকার উত্তরও দিয়েছিলেন। আইনস্টাইনের সেই উত্তরের কথা আমরা একটু পরে জানব। তার আগে গণিতের আরেকজন মহান ব্যক্তিত্ব হেনরি পয়েনকারের দিকে একটু নজর দিই। হয়তো আপনি তাঁর নাম শুনে থাকবেন।

পয়েনকার আমাদের জন্য অত্যন্ত বিরল একটি অভিজ্ঞতা রেখে গেছেন। তাঁর একটি আবিষ্কার ঠিক কীভাবে ঘটেছিল, তার একদম বিস্তারিত বিবরণ। পয়েনকার জানান, টানা দুই সপ্তাহ ধরে তিনি প্রমাণ করার চেষ্টা করছিলেন, বিশেষ একধরনের গাণিতিক ফাংশনের কোনো অস্তিত্ব থাকতে পারে না। মূলত তিনি প্রমাণ করতে চাইছিলেন, ওই গাণিতিক কাঠামোটি অসম্ভব। প্রতিদিন তিনি টেবিলে বসে সমাধান বের করার চেষ্টা করতেন, কিন্তু কোনো লাভ হচ্ছিল না।

এরপর এক রাতে তিনি ব্ল্যাক কফি পান করলেন। এটি তাঁর স্বাভাবিক অভ্যাসের বাইরে ছিল। তাই সেদিন রাতে তাঁর ঘুম আসছিল না। ওই নির্ঘুম রাতে তাঁর মাথায় একের পর এক নতুন ধারণা আসতে থাকল, যতক্ষণ না সেগুলোর কয়েকটি মিলে একটি নির্দিষ্ট ও স্থিতিশীল রূপ নিল। সকাল হতে হতে তিনি হঠাৎ বুঝতে পারলেন, এই ফাংশনগুলোর একটি নির্দিষ্ট ধরন আসলেই বিদ্যমান; অথচ তিনি এর বিপরীতটাই প্রমাণ করার চেষ্টা করছিলেন! তিনি নিজের এই ফলাফল যাচাই করতে কয়েক ঘণ্টা সময় নিলেন এবং আশ্চর্যের বিষয় হলো, তিনি সত্যিই ফুকসিয়ান ফাংশনের একটি নতুন শ্রেণি আবিষ্কার করে ফেললেন!

কিন্তু গল্প এখানেই শেষ নয়। আমরা পয়েনকারের গল্পের চূড়ান্ত পর্যায়ের মাত্র কাছাকাছি এসেছি। এই ফাংশনগুলোর অস্তিত্ব বুঝতে পারার পর তিনি সেগুলোকে স্পষ্টভাবে উপস্থাপন করতে চাইলেন। তিনি সিদ্ধান্ত নিলেন, সেগুলোকে দুটি সিরিজের ভাগফল হিসেবে প্রকাশ করবেন। তাঁর এই ধারণা এসেছিল উপবৃত্তাকার ফাংশন থেকে, যা থিটা ফাংশন ব্যবহার করে একইভাবে লেখা যায়।

তাঁর যুক্তিটি ছিল এ রকম:

উপবৃত্তাকার ফাংশনগুলোকে থিটা সিরিজ ব্যবহার করে প্রকাশ করা যায়।

হয়তো এই নতুন ফাংশনগুলোও একই রকম উপায়ে লেখা যাবে।

এ ধরনের সিরিজ যদি সত্যিই থাকে, তাহলে সেগুলোর কী কী বৈশিষ্ট্য থাকতে হবে?

একবার বৈশিষ্ট্যগুলো নির্ধারণ করে ফেলার পর তিনি স্পষ্টভাবে সিরিজটি তৈরি করে ফেললেন।

এগুলোই হলো বিখ্যাত থিটা ফুকসিয়ান সিরিজ। এরপর একটি ভূতাত্ত্বিক সম্মেলনে যাওয়ার কারণে তাঁকে কাজ থেকে বিরতি নিতে হয়েছিল। তিনি জানান, ওই ভ্রমণের সময় তিনি তাঁর গাণিতিক কাজের কথা প্রায় ভুলেই গিয়েছিলেন। সম্মেলনে একদিন বিরতির সময় তিনি একটি ঘোড়ার গাড়িতে উঠতে যাচ্ছিলেন। যেই তিনি পাদানিতে পা রাখলেন, ঠিক তখনই হঠাৎ তাঁর মাথায় একটি চিন্তা এল! তিনি পরিষ্কার বুঝতে পারলেন, তিনি তাঁর নতুন ফাংশনগুলো সংজ্ঞায়িত করতে যে রূপান্তরগুলো ব্যবহার করছিলেন, সেগুলো আসলে নন-ইউক্লিডীয় জ্যামিতির রূপান্তরগুলোর মতোই!

অথচ এর আগে তিনি এই বিষয়ে মোটেই ভাবছিলেন না। তিনি কিন্তু তখন দাঁড়িয়ে তাঁর ধারণাটি যাচাই করতে যাননি, বরং পাশের মানুষের সঙ্গে স্বাভাবিকভাবেই গল্প চালিয়ে যাচ্ছিলেন। কিন্তু মনের ভেতর তিনি শতভাগ নিশ্চিত ছিলেন, তিনি সঠিক। পরে যখন তিনি সময় পেলেন, তখন খাতা-কলমে যাচাই করে দেখলেন যে তিনি সত্যিই সঠিক ছিলেন!

কিন্তু এখানেই শেষ নয়। সম্মেলন থেকে বাড়ি ফিরে তিনি আপাতদৃষ্টিতে সম্পূর্ণ ভিন্ন একটি গাণিতিক সমস্যা নিয়ে কাজ শুরু করলেন। তিনি হতাশ হয়ে পড়লেন এবং কয়েক দিনের জন্য সমুদ্রের ধারের একটি শহরে ছুটি কাটাতে গেলেন। সেখানে তিনি সম্পূর্ণ ভিন্ন বিষয় নিয়ে ভাবছিলেন।

একদিন পাহাড়ের চূড়ায় হাঁটার সময় হঠাৎ আগের সেই সমস্যার সমাধান তাঁর মাথায় চলে এল! তিনি বুঝতে পারলেন, সম্পূর্ণ ভিন্ন দেখতে দুটি জিনিস আসলে একই নিয়মে কাজ করছে: ১. অনির্দিষ্ট টার্নারি দ্বিঘাত রূপের গাণিতিক রূপান্তর। ২. নন-ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে রূপান্তর।

পয়েনকার বাড়ি ফিরলেন, ফলাফল যাচাই করলেন এবং এটি নিয়ে কাজ চালিয়ে গেলেন। এখানে আমরা একটি নির্দিষ্ট প্যাটার্ন বুঝতে পারছি, যা জ্যাক হাদামার্ড আমাদের খেয়াল করতে বলেছেন। এই জাদুকরী ধারণাগুলো পয়েনকারের কাছে অবচেতনভাবেই এসেছিল। তিনি যখন মন দিয়ে সমস্যাটি সমাধানের চেষ্টা করছিলেন, তখন সমাধান আসেনি। বরং তিনি যখন কাজটি ছেড়ে দিয়ে অন্য কিছু নিয়ে ব্যস্ত ছিলেন, ঠিক তখনই হঠাৎ যেন জাদুর মতো সমাধানটি তাঁর মাথায় চলে আসে। পয়েনকার আরও কিছু উদাহরণ দেন। যেমন, তিনি যখন সেনাবাহিনীতে ছিলেন, তখন সমস্যা নিয়ে ভাবা বন্ধ করে দিয়েছিলেন এবং হঠাৎ করেই তাঁর মাথায় সমাধান চলে এসেছিল। এমনটা তাঁর সঙ্গে বারবার ঘটেছে।

কিন্তু এখানে হাদামার্ড একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয় আমাদের মনে করিয়ে দিয়েছেন। এমন নয় যে পয়েনকার শুধু একজন জিনিয়াস ছিলেন বলেই আকাশ থেকে সমাধান তাঁর মাথায় এসে পড়েছে! হাদামার্ড বলেন, ‘আমাদের সেই টানা দুই সপ্তাহের কঠোর পরিশ্রম এবং ব্ল্যাক কফি খাওয়া নির্ঘুম রাতের কথা ভুলে গেলে চলবে না। ওই পরিশ্রমের পরই মূলত চিন্তাগুলো তাঁর অবচেতন মনে প্রবেশ করেছিল।’

হাদামার্ড যুক্তি দেন, এই প্যাটার্নটি বিজ্ঞানীদের মধ্যে বেশ সাধারণ একটি ব্যাপার। তিনি কার্ল ফ্রেডরিখ গাউসের উদাহরণ দেন। গাউস বহু বছর ধরে একটি উপপাদ্য প্রমাণের ব্যর্থ চেষ্টার পর লিখেছিলেন: ‘বজ্রপাতের মতো হঠাৎ করেই আমার মাথার ভেতর ধাঁধাটির সমাধান হয়ে গেল! আমি নিজেও বলতে পারব না, আমার আগের জ্ঞানের সঙ্গে ঠিক কোন জিনিসটি যুক্ত হয়ে এই সাফল্য এনে দিল।’

তিনি জার্মান পদার্থবিদ হেরমান ফন হেলমহোল্টজ এবং ফরাসি পদার্থবিদ পল ল্যাঞ্জেভিনের উদাহরণও দেন। এমনকি তিনি মোজার্টের কথাও বলেছেন। আমাদের সাধারণ মানুষের জীবনেও কিন্তু এমনটা ঘটে। অনেক সময় আমরা কোনো সমস্যা নিয়ে অনেকক্ষণ ভেবেও কূলকিনারা পাই না। তারপর সেটা বাদ দিয়ে ঘুমিয়ে পরলে হঠাৎ করেই হয়তো স্বপ্নে বা পরদিন সকালে উঠে তার সমাধান পেয়ে যাই!

তাহলে অবচেতন মন আসলে কীভাবে কাজ করে? এটি কীভাবে এই সমাধানগুলো বের করে আনে? মানে, এটা তো আর কোনো জাদু নয় যে আপনি কেবল অবচেতনের হাতে ছেড়ে দিলেন আর সে একা একা সব সমাধান করে ফেলল!

হাদামার্ড বলেন, ‘অবচেতন মন প্রচুর ধারণার মধ্যে বাছাই করে এবং সেগুলোকে নানাভাবে মেলাতে থাকে। এসব ধারণার বিশাল অংশই কোনো কাজের নয়। কিন্তু আমাদের সচেতন মন শুধু সেই সংমিশ্রণগুলোই দেখতে পায়, যেগুলো কাজের বা অন্তত সম্ভাবনাময়।’

আর এই অসংখ্য ধারনা মেলাতে থাকার কাজটা আমাদের মন তখনই করে, যখন আমরা সচেতনভাবে বিষয়টি নিয়ে ভাবছি না। অকেজো আইডিয়াগুলো সম্পর্কে আমরা জানতেই পারি না, কারণ সেগুলো অবচেতন মনেই তৈরি হয় এবং ওখানেই হারিয়ে যায়। শুধু কোনো নির্দিষ্ট আইডিয়া যখন আকর্ষণীয় হয়ে ওঠে, তখনই সেটি হঠাৎ আমাদের সচেতন মনে এসে হাজির হয়। আর ঠিক তখনই আমরা একটি ইউরেকা মুহূর্ত অনুভব করি!

সংক্ষেপে, নতুন ধারণার উদ্ভাবন হলো বিশাল সম্ভাবনার মধ্য থেকে সঠিক জিনিসটি বেছে নেওয়া। হাদামার্ড একে বলেছেন, ‘উদ্ভাবন করা মানেই বেছে নেওয়া’।

আগেই বলেছি, হাদামার্ড অনেক বিজ্ঞানীকে প্রশ্নপত্র পাঠিয়েছিলেন। এর মধ্যে তাঁর সবচেয়ে প্রিয় উত্তরটি এসেছিল আলবার্ট আইনস্টাইনের কাছ থেকে। আইনস্টাইন জানান, ‘সমস্যা সমাধানে তিনি প্রচলিত শব্দ বা ভাষা ব্যবহার করতেন না। বরং তিনি বিভিন্ন ছবি কল্পনা করতেন এবং সেগুলোকে মনে মনে মেলাতেন। এই ছবিগুলো নিয়ে মনের ভেতর খেলার মাধ্যমেই তিনি নতুন নতুন আইডিয়া ও যৌক্তিক সংযোগ খুঁজে পেতেন।’

লেখক: এসএসসি পরীক্ষার্থী