সহজ অঙ্কের কঠিন প্যাঁচ, সমাধান কি মিলবে

দেখতে একেবারেই সাদাসিধে একটা সমীকরণ। সমাধান করতে গেলে মনে হবে, এ আর এমন কী! কিন্তু এখানেই লুকিয়ে আছে বিপদের বীজ। খাতা-কলম নিয়ে বসে পড়ুন। দেখুন তো নিচের সমীকরণটির সঠিক সমাধান বের করতে পারেন কি না। নিচের সমীকরণের x-এর মান বের করতে হবে।

x³ (x² - 5) = -4x

সবাই যে ভুলটা করে

সমীকরণের দুই পাশেই x আছে। তাই প্রথমেই আমাদের হাত নিশপিশ করে দুই পাশকে x দিয়ে ভাগ বা কাটাকাটি করতে। ভাগ করলে সমীকরণ দাঁড়ায় x²(x² - 5) = -4। অঙ্কটা অনেক ছোট হয়ে যায়।

কিন্তু ওটাই মরণফাঁদ। গণিতে চলক দিয়ে হুট করে ভাগ করা যায় না। কারণ ওই চলকের মান শূন্যও হতে পারে। আর শূন্য দিয়ে তো কোনো কিছুকে ভাগ করা অসম্ভব। এই অঙ্কেও x-এর মান যদি ০ বসাই, তাহলে দুই পক্ষই সমান হয়। যেমন, 0³(0² - 5) = -4 (0)। অর্থাৎ, 0 = 0। তার মানে, এই সমীকরণের একটি বৈধ উত্তর x = 0। শুরুতে x দিয়ে ভাগ করে ফেললে আপনি এই উত্তরটি হারিয়ে ফেলতেন।

সঠিক সমাধান

ভাগ না করে বরং সব রাশিকে একপাশে নিয়ে আসা যাক।

x³(x² - 5) + 4x = 0

এবার x কমন নিলে পাওয়া যায়:

x [ x²(x² - 5) + 4 ] = 0

যেহেতু দুটি রাশির গুণফল শূন্য, তাই এদের যেকোনো একটি অবশ্যই শূন্য হবে।

হয়, x = 0 (প্রথম উত্তর পেয়ে গেলাম), অথবা ভেতরের অংশটুকু শূন্য হবে। ভেতরের অংশটি ভেঙে লিখলে দাঁড়ায়:

x²(x² - 5) + 4 = 0

বা, x⁴ - 5x² + 4 = 0

দেখে মনে হচ্ছে পাওয়ার 4 (x⁴) থাকায় অঙ্কটা জটিল হয়ে যাচ্ছে। আসলে তা নয়। আমরা যদি x² = t ধরে নিই, তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়:

t² - 5t + 4 = 0

এটা এখন সাধারণ উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলেই হবে। অর্থাৎ,

t² - 5t + 4 = 0

t² - 4t - t + 4 = 0

t(t - 4) – 1 (t - 4) = 0

(t – 4) (t - 1) = 0

তাহলে, (t – 4) = 0 কিংবা (t - 1) = 0

অর্থাৎ, t = 4 এবং t = 1

আমরা t-এর মান পেয়েছি, কিন্তু আমাদের সরকার x-এর মান। আগে আমরা t = x² বসিয়েছিলাম। তাই এখন আবার এই মান বসিয়ে x-এর মান বের করব।

t = 4 হলে x² = 4। অর্থাৎ x = 2 বা -2।

আবার t = 1 হলে x² = 1। অর্থাৎ x = 1 বা -1।

চূলান্ত ফলাফল

তাহলে আমরা মোট ৫টি উত্তর পেলাম। x = -2, -1, 0, 1, 2। তাড়াহুড়ো করে কাটাকাটি করতে গেলে আপনি হয়তো শুধু চারটি বা দুটি উত্তর বের করেই সন্তুষ্ট থাকতেন। অথচ উত্তরের ঝুলি বেশ ভারী!