সুডোকুর ভেতরে লুকিয়ে আছে যে জাদুকরী প্যাটার্ন

সুডোকুর নাম শোনেনি এমন মানুষ হয়তো খুব বেশি নেই। অনেকেই অবসরে সুডোকু মেলান। কেউ কেউ সুডোকু মেলান মস্তিষ্কে শান দিতে। খবরের কাগজের কোণায় এখনো সুডোকু ছাপা হয়। তা ছাড়া স্মার্টফোন তো আছেই। সুডোকুর অনেক জনপ্রিয় অ্যাপ আছে, সেখানে প্রতিদিন নতুন নতুন সুডোকু মেলানো যায়।

সাধারণত সুডোকু দেখে মনে হয় শুধুই ১ থেকে ৯ পর্যন্ত সংখ্যা বসানোর একটা খেলা। কিন্তু একটু গভীরে গেলেই দেখবেন, এর ভেতরে লুকিয়ে আছে মাথা নষ্ট করার মতো সব গাণিতিক প্যাটার্ন!

সম্প্রতি গণিতপ্রেমীদের ঘুম হারাম করেছে এমনই এক নতুন প্যাটার্ন। এর নাম ফিস্টোমেফেল রিং। নামটা একটু খটমটে বটে, কিন্তু ব্যাপারটা দারুণ মজার।

সুডোকুর নিয়ম মোটামুটি আমাদের সবারই জানা। প্রতিটা সারিতে, কলামে এবং ৩×৩ বক্সে ১ থেকে ৯ পর্যন্ত সংখ্যা বসাতে হবে, কিন্তু কোনোটা একবারের বেশি বসানো যাবে না।

এখন আসল ম্যাজিকের কথা বলি। ফিস্টোমেফেল নামে এক জার্মানি সুডোকুর একটা নতুন প্যাটার্ন বের করেছেন। একটা সুডোকু বোর্ডের ঠিক মাঝখানে যে ৩×৩ বক্সটি থাকে, সেটার দিকে তাকান। এবার সেই মাঝখানের বক্সটাকে ঘিরে যে ১৬টি ঘর থাকে, সেগুলোকে আলাদা করুন।

মজার ব্যাপার হলো, পৃথিবীর যেকোনো সঠিক সুডোকু পাজলে এই মাঝখানে এই ১৬টি বাক্স থাকবে। একইভাবে বোর্ডের চার কোণায় ২×২ আকারের আরও ১৬টি ঘর হুবহু একই থাকবে। মানে সুডোকু হতে হলে এই ঘরগুলো থাকা বাধ্যতামূলক।

এই সুডোকুর মধ্যে কোথায় কোন সংখ্যা বসবে তা আপনি এখনো জানেন না। কিন্তু এটা নিশ্চিত যে, মাঝখানের ঘরে যদি একটা ৫ থাকে, তবে চার কোণার কোনো না কোনো ঘরে একটা ৫ থাকবেই।

কেন এমন হয়? এটা কিন্তু মোটেও কোনো কাকতালীয় ব্যাপার নয়। এর পেছনে কাজ করে গণিতের সেট ইকুইভ্যালেন্স থিওরি বা সমতুল্যতার তত্ত্ব। ব্যাপারটা একটু সহজ করে বলি।

ধরুন, সুডোকুর মাঝখানের একটা সারি আর একটা কলাম একে অপরের ওপর দিয়ে গেছে (প্লাস চিহ্নের মতো)। আমরা জানি, সারি ও কলামে ১ থেকে ৯ পর্যন্ত সব সংখ্যা আছে। এখন এই দুটির ছেদবিন্দু বা যেখানে দুটি রেখা মিলেছে, সেই জায়গা যদি বাদ দিয়ে দিই, তবে বাকি যা পড়ে থাকবে, তা দুই জায়গাতেই সমান হতে বাধ্য।

ফিস্টোমেফেল রিং-ও ঠিক এই লজিকেই কাজ করে। এখানে শুধু এক জোড়া সারি-কলাম না, বরং আট জোড়া সেটের হিসাব কষে এই প্যাটার্ন তৈরি হয়েছে।

এই প্যাটার্ন জানা থাকলে লাভ কী? পরের বার যখন কোনো কঠিন সুডোকু মেলাতে গিয়ে আটকে যাবেন, তখন এই ফিস্টোমেফেল রিংয়ের দিকে তাকাবেন। মাঝখানের রিংয়ের সংখ্যাগুলো দেখে আপনি সহজেই চার কোণার সংখ্যাগুলো আন্দাজ করতে পারবেন। এতে পাজল সলভ করা পানির মতো সহজ হয়ে যাবে।

ধরুন, আপনি একটি কঠিন সুডোকু সমাধান করছেন। অনেকগুলো ঘর পূরণ করেছেন, কিন্তু মাঝখানের কিছু ঘর কিছুতেই মেলাতে পারছেন না। তখন এই জাদুকরী রিং আপনার কাজে আসবে।

প্রথমে সুডোকু বোর্ডের দিকে তাকিয়ে মনে মনে দুটি জোন ঠিক করে নিন। মানে কোন বক্সে সংখ্যা বসাতে চান, সেই জায়গা। সুডোকুর একদম মাঝখানের যে ৩ × ৩ বক্সটি আছে, সেটাকে ঘিরে আছে ১৬টি ঘর। এটাকে আমরা বলব রিং। পাশাপাশি বোর্ডের চার কোনায় চারটি ২ × ২ বক্স আছে। প্রতি কোনায় ৪টি করে মোট ১৬টি ঘর।

সূত্রটা হলো, রিংয়ের ১৬টি ঘরে যে সংখ্যাগুলো থাকবে, চার কোনার ১৬টি ঘরেও ঠিক সেই একই সংখ্যাগুলো থাকবে। এর মানে কিন্তু এই নয় যে একই জায়গায় থাকবে। এর মানে হলো, যদি কোনার ঘরগুলোতে সব মিলিয়ে তিনটা ৫ থাকে, তবে রিংয়ের ভেতরেও ঠিক তিনটা ৫ থাকতে হবে।

ধরুন, আপনি সুডোকু মেলাতে মেলাতে একটা জায়গায় আটকে গেছেন। মাঝখানের রিং এলাকার একটা ঘর ফাঁকা আছে। আপনি বুঝতে পারছেন না সেখানে কত বসবে। হতে পারে সেটা ৪, ৭, কিংবা ৯। এবার আপনি নজর ঘুরিয়ে বোর্ডের চার কোনার দিকে তাকান। চারটা কোনা মিলিয়ে মোট ১৬টি ঘরের মধ্যে ১৫টি হয়তো পূরণ করা আছে। আপনি দেখলেন, চার কোনা মিলিয়ে ১ আছে দুটো, ২ আছে তিনটা... এভাবে সব গুনলেন। হঠাৎ দেখলেন, চার কোনা মিলিয়ে ৯ সংখ্যাটি দুইবার আছে। এবার মাঝখানের রিংয়ের দিকে তাকান। সেখানে যেসব সংখ্যা বসানো আছে, সেগুলো গুনুন।

গুনে দেখলেন, রিংয়ের ভেতরে ৯ আছে মাত্র একটি। তারমানে যে ঘরে আপনি সংখ্যা খুঁজে পাচ্ছেন না, ওখানে একটা ৯ হবে। কারণ চার কোনার ঘরে দুটি ৯ আছে।

এভাবেই বড় বড় সুডোকু এক্সপার্টরা যখন সাধারণ নিয়মে আর মেলাতে পারেন না, তখন এই ফিস্টোমেফেল রিং ব্যবহার করে চোখের পলকে সমাধান বের করে ফেলেন!

গণিত যে শুধু খাতা-কলমের বিষয় নয়, সাধারণ খেলার ছকেও যে এমন সুন্দর শিল্প লুকিয়ে থাকতে পারে, সুডোকু না দেখলে তা কে জানত!

সূত্র: সায়েন্স অ্যালার্ট