গণিতের রাজপুত্র কার্ল ফ্রেডরিখ গাউস এবং তাঁর রাজকীয় সংখ্যার জগৎ

১৮৫৫ সালের ২৩ ফেব্রুয়ারি। জার্মানির গ্যোটিঙ্গেন শহরে শেষ নিশ্বাস ত্যাগ করলেন এক বৃদ্ধ। তাঁর বয়স হয়েছিল ৭৮ বছর। এই দীর্ঘ জীবনে তিনি মানবজাতিকে দিয়ে গেছেন এমন সব গাণিতিক জ্ঞান, যা আজও আমাদের বিজ্ঞান ও প্রযুক্তি দুনিয়াকে পথ দেখাচ্ছে। গবেষকেরা ভালোবেসে তাঁকে ডাকেন প্রিন্স অব ম্যাথমেটিশিয়ানস—গণিতের রাজপুত্র। নাম তাঁর কার্ল ফ্রেডরিখ গাউস। আজ এই প্রতিভাবান গণিতবিদের জন্মদিন। চলুন, ফিরে তাকাই তাঁর সেই অবিশ্বাস্য জীবনের দিকে।

১৭৭৭ সালের ৩০ এপ্রিল জার্মানির ব্রাউনশোয়াইগ শহরের এক হতদরিদ্র শ্রমজীবী পরিবারে গাউসের জন্ম। তাঁর প্রতিভা নিয়ে অনেক গল্প প্রচলিত আছে। বলা হয়, মাত্র তিন বছর বয়সেই তিনি নাকি তাঁর বাবার হিসাবের খাতায় চোখ বুলিয়ে ভুল ধরেছিলেন!

তবে সবচেয়ে বিখ্যাত গল্পটি তাঁর আট বছর বয়সের। প্রাইমারি স্কুলে একদিন শিক্ষক ভাবলেন, ক্লাসের ছেলেদের এমন একটা কাজ দেবেন, যাতে তারা দীর্ঘক্ষণ ব্যস্ত থাকে। ততক্ষণে যাতে তিনি নিজের দাপ্তরিক কাজ সেরে নিতে পারেন। তাই তিনি ছেলেদের বললেন, ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সবগুলো সংখ্যা যোগ করতে।

ওই শিক্ষক আশা করেছিলেন, এই বিশাল যোগফল বের করতে তাদের অন্তত ঘণ্টাখানেক লাগবে। কিন্তু নির্দেশ দেওয়ার কয়েক সেকেন্ডের মধ্যেই ছোট্ট গাউস তাঁর স্লেট জমা দিয়ে দিলেন! শিক্ষক পাত্তাই দিলেন না। তিনি চাইলেন বাকিরা কাজ শেষ করুক। আধা ঘণ্টা পর যখন সবাই স্লেট জমা দিলে দেখা গেল, পুরো ক্লাসে শুধু গাউসের উত্তরটিই সঠিক!

কিন্তু গাউস তো এক মিনিটের মধ্যেই স্লেট জমা দিয়েছিলেন। কীভাবে এত দ্রুত যোগ করলেন তিনি?

আসলে গাউস গতানুগতিকভাবে ১ + ২ + ৩ + ৪... এভাবে যোগ করেননি। তিনি খেয়াল করলেন, প্রথম ও শেষ সংখ্যা যোগ করলে হয় ১০১। অর্থাৎ, ১ + ১০০ = ১০১। একইভাবে দ্বিতীয় ও শেষ দিক থেকে দ্বিতীয় সংখ্যা যোগ করলেও একই হয়। অর্থাৎ, ২ + ৯৯ = ১০১। এভাবে প্যাটার্ন মিলিয়ে তিনি দেখলেন, এখানে ঠিক ৫০ জোড়া ১০১ পাওয়া যায়। তাই তিনি শুধু ৫০-কে ১০১ দিয়ে গুণ করে দিলেন। সমাধান পেলেন ৫০ × ১০১ = ৫০৫০। চমৎকার এই গল্পটি আজও ক্লাসরুমে সমান্তর ধারার যোগফল শেখানোর সময় শিক্ষকরা বলেন।

রাজনৈতিক কারণে ১৮৩৭ সালে ওয়েবার গ্যোটিঙ্গেন ছাড়তে বাধ্য হন। এরপর গাউসের গবেষণার পরিমাণ কিছুটা কমে এলেও তিনি সবসময় অন্য বিজ্ঞানীদের সাহায্য করার জন্য মুখিয়ে থাকতেন। গাউস অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতি নিয়েও অনেক কাজ করেছিলেন, কিন্তু মানুষের সমালোচনার ভয়ে তা কখনো প্রকাশ করেননি। মজার ব্যাপার হলো, মৃত্যুর পর তাঁর মস্তিষ্ক সংরক্ষণ করা হয়েছিল, যা নিয়ে চিকিৎসাবিজ্ঞানীরা পরে বিস্তর গবেষণা করেছেন।

১৮৫৫ সালের ২৩ ফেব্রুয়ারি গ্যোটিঙ্গেনে শেষ নিশ্বাস ত্যাগ করেন এই কিংবদন্তি। তাঁকে গ্যোটিঙ্গেনের আলবানি গোরস্থানে সমাহিত করা হয়। তাঁর রেখে যাওয়া সবচেয়ে বিখ্যাত উক্তিটি দিয়েই শেষ করা যাক এই মহান গাণিতিক জাদুকরের গল্প: ‘গণিত হলো সমস্ত বিজ্ঞানের রানি, আর পাটিগণিত হলো গণিতের রানি।’

সূত্র: ম্যাথ মেকারস: দ্য লাইভস অ্যান্ড ওয়ার্কস অব ফিফটি ফেমাস ম্যাথেমেটিশিয়ান অবলম্বনে

টীকা

১. মডুলার অ্যারিথমেটিকে সংখ্যাগুলো একটি নির্দিষ্ট সীমার পর আবার প্রথম থেকে শুরু হয়। যেমন ঘড়ির কাটা। ১২টার পর ১৩টা না হয়ে আবার ১টা হয়। বিষয়টা বুঝতে হলে মডুলাস ও অ্যারিথমেটিকা শব্দ দুটি আলাদাভাবে বুঝতে হবে। মডুলাস মানে যে সংখ্যাটি দিয়ে ভাগ করা হয়। কোনো সংখ্যাকে ভাগ করার পর যে ভাগশেষ থাকে, সেটিই হলো মডুলার অ্যারিথমেটিকের উত্তর। একটি ঘড়িতে মডুলাস হলো ১২। এখন যদি ঘড়িতে ৯টা বাজে এবং আপনি ৪ ঘণ্টা যোগ করেন, তবে উত্তর হবে ১। কিন্তু ৯ ও ৪ যোগ করলে ১৩ হওয়ার কথা। ১৩-কে ১২ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে ১। ঘড়ির কাটায় এটাই দেখা যায়। গাণিতিক ভাষায় একে প্রকাশ করা হয় এভাবে: ১৩ = ১ (মড ১২)। ইন্টারনেটে পাসওয়ার্ড বা তথ্যের সুরক্ষায় এটি অপরিহার্য। প্রোগ্রামিং এবং ডেটা স্ট্রাকচারেও এটি ব্যবহৃত হয়।

২. গাউসের ঘড়ির কাটার ভাগশেষের আরেক ধাপ ওপরে ধারণা হলো কোয়াড্রেটিক রেসিডিউ। কোয়াড্রেটিক মানে বর্গ এবং রেসিডিউ মানে ভাগশেষ। অর্থাৎ কোয়াড্রেটিক রেসিডিউ মানে বর্গসংখ্যার ভাগশেষ! বিষয়টা সহজে বোঝার জন্য একটা মৌলিক সংখ্যা ধরলাম ৭। এবার আমরা ১ থেকে ৬ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোকে বর্গ করব এবং সেই ফলকে ৭ দিয়ে ভাগ করে দেখব ভাগশেষ কত থাকে। ১ এর বর্গ = ১। একে ৭ দিয়ে ভাগ করা যায় না, তাই ভাগশেষ ১। ২ এর বর্গ ৪। একে ৭ দিয়ে ভাগ করা যায় না, তাই ভাগশেষ ৪। ৩ এর বর্গ ৯। ৯-কে ৭ দিয়ে ভাগ করলে  ভাগশেষ থাকে ২। আবার ৪ এর বর্গ ১৬ এবং একে ৭ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে ২। ৫-এর বর্গ ২৫-কে ৭ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে ৪। একইভাবে ৩৬ কে ৭ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে ১। খেয়াল করে দেখুন, আমরা যখন ৭ দিয়ে ভাগ করলাম, তখন ভাগশেষ হিসেবে মাত্র তিনটি সংখ্যা ঘুরেফিরে এল—১, ২ এবং ৪। ৭ এর চেয়ে ছোট বাকি সংখ্যাগুলো, অর্থাৎ ৩, ৫ ও ৬ কখনোই ভাগশেষ হিসেবে এল না! গণিতের ভাষায় এই ১, ২ এবং ৪-কে বলা হয় ৭ এর কোয়াড্রেটিক রেসিডিউ। আর যে সংখ্যাগুলো একবারও ভাগশেষ হিসেবে আসেনি, সেগুলোকে বলা হয় নন-রেসিডিউ। এই ভাগশেষ বের করে লাভ কী?

৩. ফার্মা প্রাইম হলো মৌলিক সংখ্যার এক বিশেষ পরিবার। সপ্তদশ শতাব্দীর বিখ্যাত ফরাসি গণিতবিদ পিয়েরে দ্য ফার্মা মৌলিক সংখ্যা বের করার জন্য একটি চমৎকার সূত্র তৈরি করেন। সূত্রটি হলো:

এখানে n-এর মান ০, ১, ২, ৩ ইত্যাদি যেকোনো পূর্ণসংখ্যা হতে পারে। এবার সূত্রে মান বসিয়ে দেখি, কী জাদুকরী সংখ্যা বেরিয়ে আসে। n = ০ বসালে, ২^১ + ১ = ৩, n = ১ বসালে ২^২ + ১ = ৫, n = ২ বসালে ২^৪ + ১ = ১৭, n = ৩ বসালে ২^৮ + ১ = ২৫৭, n = ৪ বসালে, ২^১৬ + ১ = ৬৫৫৩৭। খেয়াল করে দেখুন, ৩, ৫, ১৭, ২৫৭ এবং ৬৫৫৩৭ সংখ্যাগুলো মৌলিক সংখ্যা। ফার্মার সূত্র থেকে পাওয়া এই বিশেষ মৌলিক সংখ্যাগুলোকেই বলা হয় ফার্মা প্রাইম। মজার ব্যাপার হলো, টানা পাঁচটি মৌলিক সংখ্যা পাওয়ার পর ফার্মা ভীষণ রোমাঞ্চিত হয়ে ভেবেছিলেন, এই সূত্রে n-এর মান যাই বসানো হোক না কেন, সব সময় মৌলিক সংখ্যাই বের হবে! কিন্তু প্রায় ১০০ বছর পর আরেক বিশ্বখ্যাত গণিতবিদ লিওনার্ড অয়লার প্রমাণ করে দেখান, n = 5 বসালে যে বিশাল সংখ্যাটি পাওয়া যায়, তা ৬৪১ দিয়ে বিভাজ্য! সেই সংখ্যাটি হলো ৪,২৯,৪৯,৬৭,২৯৭। অর্থাৎ এটি মৌলিক সংখ্যা নয়। বিস্ময়কর হলেও সত্যি, আজ পর্যন্ত আধুনিক সুপারকম্পিউটার দিয়েও ওই প্রথম পাঁচটি ছাড়া নতুন আর কোনো ফার্মা প্রাইমের খোঁজ পাননি বিজ্ঞানীরা!