চোখের পলকে অঙ্ক করার ম্যাজিক

যেকোনো প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায় এমন কিছু অংক থাকে, যেগুলো দেখলে চোখ কপালে ওঠার জোগাড় হয়! ধরুন, আপনাকে বলা হলো, নিচের সমস্যার একক স্থানীয় অঙ্ক বা একেবারে শেষের অঙ্কটি বের করতে।

৭৪৩^৮৫ - ৬২৫^৩৭ + ৯৮৬^৬৭

দেখেই মাথা ঘুরে গেল তো? এত বড় পাওয়ারের হিসাব করা তো ক্যালকুলেটরেরও কম্ম নয়! আপনি যদি এর পেছনের ম্যাজিকটা না জানেন, তবে এই অঙ্ক মেলাতে আপনার ঘণ্টার পর ঘণ্টা পার হয়ে যেতে পারে।

কিন্তু আজ আমরা সেই জাদুটাই শিখব। ০ থেকে নয় ৯ পর্যন্ত দশটি অঙ্কের পাওয়ারের মধ্যে চমৎকার একটি প্যাটার্ন লুকিয়ে আছে। আপনি যদি শুধু এই প্যাটার্নটা একবার ধরে ফেলতে পারেন, তবে চোখের পলকেই  এসব অংকের উত্তর বলে দিতে পারবেন!

বোঝার সুবিধার জন্য আমরা ০ থেকে ৯ পর্যন্ত অঙ্কগুলোকে তিনটি দলে ভাগ করে নেব।

ধরা যাক, প্রথম দলের নাম একগুঁয়ে। এই দলের অঙ্কগুলো হলো ০, ১, ৫ ও ৬। যেহেতু এই দলের সংখ্যাগুলো ভীষণ একগুঁয়ে, তাই এদের পাওয়ার আপনি যা-ই দিন না কেন, এদের শেষ অঙ্কটি কখনোই বদলাবে না। ধাপে ধাপে বুঝিয়ে বলছি।

১. কোনো সংখ্যার শেষে যদি ০ থাকে, তার পাওয়ার যা-ই হোক, উত্তরের শেষ অঙ্কটি ০-ই হবে।

২. একইভাবে, শেষে ১ থাকলে উত্তর হবে ১।

৩. শেষে ৫ থাকলে উত্তর হবে ৫। যেমন: ৫^২ = ২৫ বা ৫^৩ = ১২৫।

৪. শেষে ৬ থাকলে উত্তর হবে ৬। যেমন: ৬^২ = ৩৬ বা ৬^৩ = ২১৬।

এবার ধরা যাক, দ্বিতীয় দলের নাম জোড়-বিজোড়ের খেলা। এই দলের সংখ্যা দুটি, ৪ এবং ৯। এই দলের নিয়মটা খুব সোজা। এরা নির্ভর করে পাওয়ারটি জোড় সংখ্যা নাকি বিজোড় সংখ্যা, তার ওপর। যেমন, ৪-এর ক্ষেত্রে পাওয়ার যদি বিজোড় হয়, শেষ অঙ্কটি হবে ৪। যেমন: ৪^১ = ৪, ৪^৩ = ৬৪। কিন্তু পাওয়ার যদি জোড় হয়, তবে শেষ অঙ্কটি হবে ৬। যেমন: ৪^২ = ১৬।

আর ৯-এর ক্ষেত্রে পাওয়ার বিজোড় হলে শেষ অঙ্ক হবে ৯। যেমন: ৯^১ = ৯, ৯^৩ = ৭২৯। কিন্তু পাওয়ার জোড় হলে শেষ অঙ্ক হবে ১। যেমন: ৯^২ = ৮১।

তৃতীয় দলের নাম দিলাম ঘাড়ত্যাড়া। এই দলে সংখ্যা চারটি। সেগুলো হলো ২, ৩, ৭ ও ৮। এদের ক্ষেত্রে প্রতি ৪ বার পরপর শেষ অঙ্কটি একই চক্রে ঘুরে ঘুরে আসে। এই চক্রের সমাধান করার জন্য আমাদের ৩টি সহজ ধাপ পার হতে হবে:

ধাপ ১: প্রথমেই পাওয়ার বা ঘাতটিকে ৪ দিয়ে ভাগ করতে হবে।

ধাপ ২: ভাগ করার পর যে ভাগশেষ থাকবে, সেটাকেই নতুন পাওয়ার হিসেবে ধরে নিতে হবে।

ধাপ ৩: কিন্তু ৪ দিয়ে যদি পুরোপুরি ভাগ মিলে যায়, অর্থাৎ ভাগশেষ ০ হয়, তবে পাওয়ার হিসেবে সব সময় ৪-কেই ধরে নিতে হবে।

এবার একটু উদাহরণ দিয়ে বিষয়টা পরিষ্কার করি। ধরুন, ২^৫৩-এর শেষ অঙ্ক বের করতে হবে?

ধাপ ১: পাওয়ার ৫৩-কে ৪ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে ১।

ধাপ ২: যেহেতু ভাগশেষ ১, তাই আমরা ২-এর ওপর পাওয়ার দেব ১, অর্থাৎ ২^১।

ফলাফল: ২^১ = ২। সুতরাং, ২^৫৩-এর শেষ অঙ্ক হবে ২!

আরেকটা উদাহরণ হলো, ৩^৩২-এর শেষ অঙ্ক বের করতে হবে।

ধাপ ১: ৩২-কে ৪ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ হয় ০।

ধাপ ২: ভাগশেষ ০ হলে নিয়ম অনুযায়ী পাওয়ার ধরতে হবে ৪। অর্থাৎ ৩^৪।

ফলাফল: ৩^৪ = ৮১। ৮১-এর শেষ অঙ্ক হলো ১। সুতরাং, ৩^৩২-এর শেষ অঙ্ক হবে ১!

৭ এবং ৮-এর ক্ষেত্রেও ঠিক একই ধাপে ৪ দিয়ে ভাগের নিয়মটি মানতে হবে।

আসল পরীক্ষা

এবার চলুন, সেই বড় বড় অংকগুলো সমাধান করি। ধরুন, ২৯৫^৯৮ + ৬১২^৩৩ + ৮৯৩^৭২-এর শেষ অঙ্কটি কত? এবার ধাপে ধাপে সমাধান করি।

• ২৯৫^৯৮: এর শেষ অঙ্ক ৫। আমরা জানি ৫ একগুঁয়ে সংখ্যা, সে বদলায় না। তাই এখান থেকে পাব ৫।

• ৬১২^৩৩: এর শেষ অঙ্ক ২। পাওয়ার ৩৩-কে ৪ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে ১। তাহলে ২^১ = ২।

• ৮৯৩^৭২: এর শেষ অঙ্ক ৩। পাওয়ার ৭২-কে ৪ দিয়ে ভাগ করলে ভাগ মিলে যায়। অর্থাৎ, ভাগশেষ ০। তাহলে ধরতে হবে ৪। ৩^৪ = ৮১, যার শেষ অঙ্ক ১।

• এবার সব যোগ করলে পাবো: ৫ + ২ + ১ = ৮।

অর্থাৎ, পুরো অংকটির শেষ অঙ্কটি হবে ৮!

এবার আরেকটি প্রশ্ন দেখি। ৭৪৩^৮৫ - ৬২৫^৩৭ + ৯৮৬^৯৮-এর শেষ অঙ্কটি কত?

• ৭৪৩^৮৫: শেষ অঙ্ক ৩। ৮৫ কে ৪ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ ১। তাহলে ৩^১ = ৩।

• ৬২৫^৩৭: শেষ অঙ্ক ৫। ৫ কখনোই বদলায় না। সুতরাং ৫।

• ৯৮৬^৯৮: শেষ অঙ্ক ৬। ৬-ও কখনোই বদলায় না। সুতরাং ৬।

• এবার হিসাব করলে হয়: ৩ - ৫ + ৬ = ৪।

উত্তর চলে এল! পুরো অংকটির শেষ অঙ্ক হবে ৪!

এটাই মূল বিষয়। এই প্যাটার্নগুলো একবার মাথায় গেঁথে নিলে, আপনি হয়ে উঠবেন গণিতের এক সত্যিকারের জাদুকর!

সূত্র: হাউ টু বি আ ম্যাথ ম্যাজিশিয়ান অবলম্বনে