ত্বরণ ও মন্দন কী, এদের সম্পর্কে আপনি কতটা জানেন

পদার্থবিজ্ঞানের সহজপাঠ ২৪

স্যার আইজ্যাক নিউটন তাঁর গতিসূত্রে বলেছিলেন, কোনো বস্তুকে গতিশীল করে ছেড়ে দিলে সেটি একই গতিতে চিরকাল চলতে থাকবে। অর্থাৎ বাতাসের বাধা, মহাকর্ষ বলের টান কিংবা অন্য কোনো বল বস্তুর গতির পক্ষে বা বিপক্ষে কাজ না করলে গতিশীল বস্তু অবিরাম সোজা পথে চলবে। কিন্তু বস্তুর ওপর যদি বল প্রয়োগ করা হয় এবং সেই বল যদি বস্তুর গতির দিকে কাজ করে, তাহলে বস্তুর গতি বাড়বে। ফলে একটি নির্দিষ্ট সময়ে বস্তুর গতি যে হারে বাড়ে, তাকেই বলা হয় ত্বরণ।

ধরা যাক, একটি ছোট্ট খেলনা গাড়ি প্রতি সেকেন্ডে ৫ মিটার গতিতে সোজা পথে ছুটছে। এটাকে বলে বস্তুর সুষম বেগ। এবার আপনি গতিশীল গাড়িটির পেছন দিকে হাত দিয়ে বল প্রয়োগ করলেন। সামনের দিকে ঠেলে দিলেন। তাহলে বস্তুটির গতি বাড়বে। কিন্তু সেটি কী হারে বাড়বে?

ধরা যাক, তিন সেকেন্ড ধরে সমান বল আপনি বস্তুটির ওপর প্রয়োগ করলেন। বল প্রয়োগের এক সেকেন্ড পর বস্তুর গতি বেড়ে দাঁড়াল প্রতি সেকেন্ডে ৮ মিটার। আদিবেগ, অর্থাৎ বল প্রয়োগের আগে গাড়ির বেগ ছিল প্রতি সেকেন্ডে ৫ মিটার। তাহলে প্রথম সেকেন্ডের পর গাড়িটির গতি বেড়েছে ৮ - ৫ মিটার = ৩ মিটার। আপনি তিন সেকেন্ড ধরে গাড়িটির ওপর সমান বল প্রয়োগ করেছেন। তাই প্রথম সেকেন্ডে বস্তুর বেগ বেড়েছে ৩ মিটার। দ্বিতীয় ও তৃতীয় সেকেন্ড পর বস্তুর গতি ওই ৩ মিটার করেই বাড়বে। তাই দ্বিতীয় সেকেন্ড পর বস্তুর গতিবেগ দাঁড়াবে ৮ + ৩ = ১১ মিটার এবং তৃতীয় সেকেন্ড পর গতি হবে ১১ + ৩ = ১৪ মিটার। অর্থাৎ এখানে প্রতি সেকেন্ডে ৩ মিটার হারে বস্তুর গতি বাড়ছে। এটিই হলো বস্তুর ত্বরণ। এর একক কেন বর্গ সেকেন্ড বা মিটার/সেকেন্ড^২, তার ব্যাখ্যা আছে লেখার শেষ অংশে।

সোজা কথায়, একটি নির্দিষ্ট সময়ে কোনো বস্তুর বেগ বৃদ্ধির হারকে ত্বরণ বলে। অবশ্য সেটি সোজা পথে চলা বস্তুর ক্ষেত্রে। তবে মনে রাখতে হবে, বস্তু সব সময় সোজা পথে চলে না, এর কৌণিক বেগও থাকতে পারে। কোনো বস্তু আঁকাবাঁকা পথে চলতে পারে। আবার কোনো বস্তু চলতে পারে বৃত্তাকার পথে। যেমন পৃথিবীর বার্ষিক গতি। পৃথিবী সূর্যকে কেন্দ্র করে তার কক্ষপথে ঘোরে। আবার কোনো বস্তু স্থান পরিবর্তন না করেও গতিশীল হতে পারে। যেমন একটি লাটিম। এ ধরনের বস্তু একটি নির্দিষ্ট অক্ষের ওপর ভর করে ঘুরতে থাকে। পৃথিবীর আহ্নিক গতিও এমন। পৃথিবী নিজ অক্ষের ওপর অনেকটা লাটিমের মতো করেই ঘোরে। ফলে পৃথিবীতে দিন-রাত হয়। তবে এই যে কৌণিক বেগ, তা কিন্তু সব সময় পরিবর্তনশীল। কীভাবে?

বেগ একটি ভেক্টর রাশি। বেগের পরিবর্তনের হারই হলো ত্বরণ অথবা মন্দন। বেগের মান দুভাবে পরিবর্তিত হতে পারে—গতি বৃদ্ধির ফলে অথবা দিক পরিবর্তনের ফলে। সোজা পথে চলা বস্তুর দিক পরিবর্তন হয় না, শুধু মান পরিবর্তিত হয়। আর মান পরিবর্তনের কারণেই ত্বরণ পাওয়া যায়। অন্যদিকে ঘূর্ণনশীল বস্তুর গতি বাড়লে বা কমলে এর বেগের মান পরিবর্তিত হয়। আবার কৌণিক বেগে ঘুরছে বলে প্রতিনিয়ত এর দিকও পরিবর্তিত হচ্ছে। তাই গতির হেরফের যদি নাও হয়, তবু প্রতিনিয়ত দিক বদলাচ্ছে বলে এর বেগের মান পরিবর্তিত হচ্ছে। ফলে সকল কৌণিক বেগে বা আঁকাবাঁকা পথে গতিশীল বস্তু ত্বরণ লাভ করে।

২

এবার আসা যাক মন্দনের কথায়। বস্তুর বেগ যদি প্রতি মুহূর্তে কমতে থাকে, তবে নির্দিষ্ট সময়ে বেগ যে পরিমাণ কমে, সেটাই হলো ওই বস্তুর মন্দন। অর্থাৎ নির্দিষ্ট সময়ে কোনো বস্তুর বেগ হ্রাসের হারকে মন্দন বলে। সোজা পথে কিংবা কৌণিক বেগে গতিশীল বস্তুর ক্ষেত্রেই মন্দন হতে পারে। এটি ঠিক ত্বরণের মতোই, তবে মন্দনে বেগ কমে যায়।

বস্তুর মন্দন কেন হয়

গতিশীল বস্তুর ওপর বল প্রয়োগ করলে যেমন বস্তুর ত্বরণ পাওয়া যায়, তেমনি মন্দনের ক্ষেত্রেও বল বড় ভূমিকা রাখে। বল প্রয়োগ করে বস্তুর গতিকে বাধা দিলে বেগ ক্রমাগত কমতে থাকে। ত্বরণ বা মন্দন যা-ই হোক না কেন, এদের জন্য বাড়তি বল প্রয়োগ করতে হয়। ত্বরিত বস্তুর ক্ষেত্রে বল প্রয়োগ বন্ধ হলে, বস্তুটি সর্বশেষ সেকেন্ডে যে বেগে চলছিল, সেই বেগেই চলতে থাকবে। যেমন ওপরে আমরা খেলনা গাড়ির উদাহরণ দিয়েছি। গাড়িটির ওপর তিন সেকেন্ড ধরে বল প্রয়োগ করা হয়েছিল। তৃতীয় সেকেন্ড শেষে গাড়িটির মোট বেগ ছিল সেকেন্ডে ১৪ মিটার। এরপর আপনি বল প্রয়োগ বন্ধ করে দিলেন। তখন গাড়িটির আর ত্বরণ হবে না। এটি ১৪ মিটার বেগেই চলতে থাকবে; সুষম বেগে, সোজা পথে।

এবার ধরা যাক, ১৪ মিটার বেগে চলা গাড়িটির গতির বিপরীতে আপনি একটি বল প্রয়োগ করলেন। তখন গাড়িটির বেগ কমতে শুরু করবে। প্রথম সেকেন্ডে গাড়ির বেগ ৩ মিটার কমে যায়। এখানে ৩ মিটার হলো মন্দন। বল প্রয়োগের ফলে এক সেকেন্ড পর গাড়ির বেগ দাঁড়ায় ১৪ - ৩ = ১১ মিটার। দ্বিতীয় সেকেন্ডে বেগ কমে দাঁড়াবে ১১ - ৩ = ৮ মিটার। তৃতীয় সেকেন্ডে গিয়ে গাড়িটির বেগ দাঁড়াবে ৫ মিটার। অর্থাৎ গাড়িটি তার আগের বেগে ফিরে আসবে।

এখানে একটি কথা বলে রাখা জরুরি, গাড়িটির একদম শুরুতে বেগ ছিল সেকেন্ডে ৫ মিটার। বল প্রয়োগের পর গাড়ির বেগ বাড়ছিল ৩ মিটার করে। অর্থাৎ গাড়ির ত্বরণ ছিল বর্গ সেকেন্ডে ৩ মিটার। আবার আপনি যখন গাড়ির বেগের বিপরীতে বল প্রয়োগ করলেন, তখনো গাড়ির বেগ সেকেন্ডে ৩ মিটার করে কমতে শুরু করল। এখানে ৩ মিটার মন্দন হচ্ছিল গাড়ির। অর্থাৎ ত্বরণ ও মন্দন সমান সমান। মানে আপনি গাড়ির বেগ বাড়ানোর জন্য বেগের অভিমুখে যে পরিমাণ বল প্রয়োগ করেছিলেন, পরে ঠিক একই পরিমাণ বল প্রয়োগ করলেন বেগের বিপরীতে। ফলে গাড়ির বেগ একই হারে কমতে শুরু করল। এ জন্যই ত্বরণ ও মন্দন সমান পেলাম আমরা।

কিন্তু বল যদি সমান না হতো? ধরা যাক, আপনি গাড়ির বেগ বাড়ানোর সময় ৩ নিউটন বল প্রয়োগ করেছিলেন। তাই ত্বরণ হয়েছিল প্রতি বর্গ সেকেন্ডে তিন মিটার। কিন্তু বল যদি কম প্রয়োগ করতেন, তাহলে ত্বরণও কম হতো। ধরা যাক, আপনি ২ নিউটন বল প্রয়োগ করলেন। তাহলে ত্বরণ হতো বর্গ সেকেন্ডে ২ মিটার। আবার গতি কমানোর সময় আপনি ৩ নিউটন বল প্রয়োগ না করে যদি ২ নিউটন বল প্রয়োগ করেন, তাহলে মন্দনও তখন প্রতি বর্গ সেকেন্ডে ২ মিটার হবে। অর্থাৎ আপনি বল কতটা কম বা বেশি প্রয়োগ করছেন, তার ওপর নির্ভর করেই ত্বরণ বা মন্দনের কমবেশি হবে।

৩

আমরা আবারও সেই খেলনা গাড়িতে ফিরে যাই। সেটির আদিবেগ ছিল ৫ মিটার। ৩ সেকেন্ড পর সেটির বেগ দাঁড়াল সেকেন্ডে ১৪ মিটার। কারণ, প্রতিনিয়ত এর বেগ বাড়ছিল। ৩ সেকেন্ড পর এর ওপর বল প্রয়োগ বন্ধ করা হয়েছিল। কিন্তু যদি বল প্রয়োগ বন্ধ না করা হতো, তাহলে কী হতো? প্রতি সেকেন্ডেই এর বেগ বাড়ত। অসীম সময় ধরে যদি বল প্রয়োগ করা হয়, তাহলে কী হবে? অঙ্ক বলছে, বেগ বাড়তে বাড়তে অসীমে পৌঁছে যাবে।

কিন্তু বাস্তবে সেটি সম্ভব নয়। আইনস্টাইনের স্পেশাল থিওরি অব রিলেটিভিটি বা বিশেষ আপেক্ষিকতা তত্ত্ব বলে, কোনো বস্তুর বেগই আলোর বেগের চেয়ে বেশি হওয়া সম্ভব নয়। আলোর বেগ সেকেন্ডে প্রায় ৩০ কোটি মিটার। কিন্তু রিলেটিভিটি বা আপেক্ষিকতা তত্ত্ব আবারও বলছে, ভর আছে এমন কোনো বস্তুর বেগ আলোর বেগের সমান হবে না। ইলেকট্রনের মতো অতি হালকা কণারা আলোর বেগের কাছাকাছি বেগ অর্জন করতে পারে। তার জন্য বিপুল বল প্রয়োগ করতে হবে শক্তির সাহায্যে। একটি খেলনা গাড়ির বেগ যদি আলোর বেগের কাছাকাছি নিয়ে যেতে হয়, তার জন্য যে পরিমাণ বল প্রয়োগ করতে হবে, তা অকল্পনীয়। আজ পর্যন্ত এত বড় কোনো জিনিসকে আলোর বেগের কাছাকাছি নেওয়ার কোনো পরীক্ষাই করা হয়নি। এটি আসলে অসম্ভব।

এবার আসি মন্দনের কথায়। ধরা যাক, খেলনা গাড়িটি প্রতি সেকেন্ডে ৫ মিটার বেগে চলছে। এখন এর বিপরীতে ১ নিউটন বল প্রয়োগ করলে এর মন্দন হবে বর্গ সেকেন্ডে ১ মিটার। প্রথম সেকেন্ডের পর এর বেগ কমে দাঁড়াবে ৫ - ১ = ৪ মিটার। এভাবে দ্বিতীয় ও তৃতীয় পেরিয়ে চতুর্থ সেকেন্ডের পর গতি কমে দাঁড়াবে ৫ - ৪ = ১ মিটার। পঞ্চম সেকেন্ড পর বেগ হবে ৫ - ৫ = ০ মিটার। অর্থাৎ পঞ্চম সেকেন্ড পর গিয়ে গাড়িটি সম্পূর্ণ থেমে যাবে। এখন যদি বল প্রয়োগ বন্ধ করেন, তাহলে গাড়ি থেমেই থাকবে। তখন মন্দনও শূন্য হয়ে যাবে।

কিন্তু বল প্রয়োগ বন্ধ যদি না করেন, তাহলে গাড়িটি থেমে যাওয়ার পর পেছন দিকে চলতে শুরু করবে। ষষ্ঠ সেকেন্ডে গিয়ে বেগ হবে ৫ - ৬ = -১ মিটার। বেগ ঋণাত্মক হতে পারে। এখানে ঋণাত্মক মানে বিপরীত দিক বোঝায়। এ সময় মন্দনও হবে মাইনাস ১ মিটার। মন্দন ঋণাত্মক হলে সেটি আর মন্দন থাকে না। সেটি তখন ত্বরণে পরিণত হয়। ত্বরণ ও মন্দন উভয়ই ভেক্টর রাশি। তাই এদের মানে যদি ঋণাত্মক মান চলে আসে, তাহলে সেটির দিক বদলে যায়। আর দিক বদলালে এখানে সংজ্ঞাও বদলে যায়।

একটু ভাবুন, গাড়িটি উল্টো দিকে চলছে। গাড়ি পেছনে চলছে নাকি সামনে চলছে, তা নিয়ে পদার্থবিজ্ঞানের কিছু যায় আসে না। গাড়িটি তখন পেছন দিকেই ত্বরিত হচ্ছে। সেই ত্বরণের মান প্রতি বর্গ সেকেন্ডে ১ মিটার।

আবার বেগ সব সময় সুষম হয় না। ক্ষণে ক্ষণে বাড়তেও পারে, কমতেও পারে। সেটাকেই তো আমরা ত্বরণ বা মন্দন বলছি। বেগ যেমন সব সময় সুষম হয় না, ত্বরণ বা মন্দনের হারও সব সময় সুষম হয় না। ওই খেলনা গাড়িটির কথা আবার ভাবা যাক। প্রথমে ওটার ওপর ৩ নিউটন বল প্রয়োগ করা হয়েছিল। তখন তিন সেকেন্ড ধরে একই বল ও ত্বরণ ছিল। এবার আর তেমনটি হবে না।

ধরা যাক, ৫ মিটার বেগে চলা গাড়িটির গতির অভিমুখে প্রথমে আপনি ২ নিউটন বল প্রয়োগ করলেন। ফলে এক সেকেন্ড পর গাড়ির বেগ বাড়ল ২ মিটার। তাহলে প্রথম সেকেন্ড পর ত্বরণ হলো ২ মিটার। বেগ বেড়ে দাঁড়াল সেকেন্ডে ৭ মিটার। দ্বিতীয় সেকেন্ডে আপনি বল বাড়িয়ে ৩ নিউটন করলেন, ফলে গাড়ির ত্বরণ হলো সেকেন্ডে ৩ মিটার। গাড়ির বেগ গিয়ে পৌঁছাল সেকেন্ডে ১০ মিটারে।

তৃতীয় সেকেন্ডে আপনি বল একবারে দ্বিগুণ করলেন। অর্থাৎ ৬ নিউটন বল প্রয়োগ করলে ত্বরণ হবে প্রতি বর্গ সেকেন্ডে ৬ মিটার। একইভাবে যেকোনো সময় বল কমিয়ে আপনি গাড়ির ত্বরণ কমিয়েও দিতে পারেন। এমনকি বল প্রয়োগ কমবেশি হলে মন্দনও কমবেশি হতে পারে। মোদ্দা কথা হলো, ত্বরণ বা মন্দন সুষম হতে পারে, আবার কমবেশিও হতে পারে।

৪

প্রিয় পাঠক, আশা করি ত্বরণ ও মন্দনের ব্যাপারটা এতক্ষণে পরিষ্কারভাবে বুঝে ফেলেছেন। পরের অংশটুকু যদি নাও পড়েন, তাহলেও কোনো সমস্যা নেই। কিন্তু এই লেখার মূল উদ্দেশ্য হলো মাধ্যমিকের শিক্ষার্থীদের পাঠ্যবইকে সহজপাঠে রূপান্তরিত করা। তাই মাধ্যমিকের শিক্ষার্থীদের নিচের অংশটুকু পড়া উচিত।

এবার ত্বরণের সূত্রটি দেখা যাক। নিউটনের গতিসূত্র থেকে আমরা পাই, v = u + at.......(১)। এখানে v হলো বস্তুর শেষ বেগ, u হলো আদিবেগ, t হলো সময় এবং a হলো ত্বরণ। একটি চলন্ত গাড়ি বল প্রয়োগের আগে যে বেগে চলছিল, সেটিই এর আদিবেগ। পুরো পর্যবেক্ষণের সময়টি হলো t এবং বল প্রয়োগের t সময় পরে গাড়ির বেগ হলো v। তাহলে এর ত্বরণ a বের করতে হবে। এখন (১) নম্বর সমীকরণ থেকে লেখা যায়,

at = v - u

অথবা, a = (v - u) / t.......(২)

এটি কোনো একটি নির্দিষ্ট বেগে গতিশীল বস্তুর ওপর বল প্রয়োগ করে পাওয়া ত্বরণের সূত্র।

কিন্তু বস্তুটি যদি গতিশীল না হয়ে স্থির হয়, তবে সেই স্থির বস্তুর ওপর বল প্রয়োগ করে সরাসরি যদি ত্বরণ সৃষ্টি করা হয়, তাহলে আদিবেগ u = 0 হবে। তাই ত্বরণ হবে, a = v / t.......(৩)

বস্তুর বেগ যদি সময়ের সঙ্গে সঙ্গে কমতে থাকে, তাহলে মন্দন হবে। তখন শেষ বেগ আদিবেগের চেয়ে কম হবে। তখন (২) নম্বর সমীকরণকে ঘুরিয়ে লিখতে হবে, মন্দন, a = (u - v) / t.......(৪)

ত্বরণ বা মন্দনের একক হলো ms^-2। কেন এমন একক পেলাম, সেটা একটু দেখতে চাই। ধরা যাক, একটি গাড়ি প্রতি সেকেন্ডে ১ মিটার বেগে ছুটছে। এর ওপর বল প্রয়োগ করা হলো। ফলে বস্তুটির বেগ বেড়ে হলো ২ মিটার। তাহলে এখানে t = 1s, আদিবেগ u = 1 ms^-1, শেষ বেগ v = 2 ms^-1। তাহলে (২) নম্বর সমীকরণ থেকে ত্বরণ পাওয়া যাবে, a = (v - u) / t = (2 ms^-1 - 1 ms^-1) / 1s = 1 ms^-1 / 1s = 1 ms^-2। ত্বরণের মাত্রা তাই, LT^-2।

লেখক: সাংবাদিক